FractaisO Triângulo de Sierpinski

Aqui estão alguns exemplos de ladrilhos de diferentes igrejas em Roma:

Como se vê, o triângulo de Sierpinski aparece em uma ampla gama de outras áreas da matemática, e existem muitas maneiras diferentes de gerá-lo. Neste capítulo, exploraremos alguns deles! Continuar

Triângulo de Pascal

Você já deve se lembrar do triângulo de Sierpinski em nosso capítulo sobre Triângulo de Pascal. Esta é uma pirâmide numérica em que todo número é a soma dos dois números acima. Toque em todos os números pares no triângulo abaixo, para destacá-los - e veja se você percebe um padrão:

O triângulo de Pascal pode ser continuado para baixo para sempre, e o padrão de Sierpinski continuará com triângulos cada vez maiores. Você já pode ver o início de um triângulo ainda maior, começando na linha 16.

Se duas células adjacentes são divisíveis por 2, então sua soma na célula abaixo também deve ser divisível por 2 - é por isso que só podemos obter triângulos coloridos (ou células únicas). Obviamente, também podemos tentar colorir todas as células divisíveis por outros números diferentes de 2. O que você acha que vai acontecer nesses casos? Continuar

Aqui você pode ver uma versão minúscula das primeiras 128 linhas do triângulo de Pascal. Destacamos todas as células que são divisíveis por ${n} - o que você percebe?

Para cada número, temos um padrão triangular diferente, semelhante ao triângulo de Sierpinski. O padrão é particularmente regular se escolhermos um número primonúmero triangularnúmero de Fibonacci. Se o número tiver muitos fatores primos diferentes, o padrão parecerá ser mais aleatório.

O jogo do caos

Esse processo é chamado de jogo do caos. Pode haver alguns pontos perdidos no início, mas se você repetir os mesmos passos várias vezes, a distribuição dos pontos começará a se parecer exatamente com o triângulo de Sierpinski!

Existem muitas outras versões - por exemplo, poderíamos começar com um quadrado ou um pentágono, adicionar regras adicionais, como não poder selecionar o mesmo vértice duas vezes seguidas ou escolher o próximo ponto em uma proporção diferente de 12 ao longo do segmento. Em alguns desses casos, obteremos apenas uma distribuição aleatória de pontos, mas em outros casos, revelamos ainda mais fractais:

Você descobriu o tapete Sierpinski ou este floco de neve pentagonal com base na proporção áurea?

Autômatos celulares

Um autômato celular é uma grade que consiste em muitas células individuais. Cada célula pode estar em diferentes "estados" (por exemplo, cores diferentes), e o estado de cada célula é determinado pelas células circundantes.

No nosso exemplo, cada célula pode ser preta ou branca. Começamos com uma linha que contém apenas um único quadrado preto. Em todas as linhas seguintes, a cor de cada célula é determinada pelas três células imediatamente acima. Toque nas oito opções possíveis abaixo para selecionar a cor de acordo com a regra - você consegue encontrar um conjunto de regras que cria um padrão semelhante ao triângulo de Sierpinski?

Há duas opções para cada uma das oito opções, o que significa que existem 28= regras possíveis no total. Alguns, como a regra 126, parecem com o triângulo de Sierpinski. Outros, como a regra 30, parecem completamente caóticos. Foi descoberto por Stephen Wolfram em 1983, e os computadores podem até usá-los para gerar números aleatórios!

Sierpinski Tetrahedra

Existem muitas variantes do triângulo de Sierpinski e outros fractais com propriedades e processos de criação semelhantes. Alguns parecem bidimensionais, como o tapete de Sierpinski que você viu acima. Outros parecem tridimensionais, como estes exemplos: