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Transformações e simetriaTransformações rígidas

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Uma transformação rígida é um tipo especial de transformação que não altera o tamanho ou a forma de uma figura. Poderíamos imaginar que ele é feito de um material sólido, como madeira ou metal: podemos movê-lo, girá-lo ou virar, mas não podemos esticar, dobrar ou deformar.

Quais dessas cinco transformações são rígidas?

Acontece que existem apenas três tipos diferentes de transformações rígidas:

Uma transformação que simplesmente move uma forma é chamada de tradução .

Uma transformação que vira uma forma é chamada de reflexão .

Uma transformação que gira uma forma é chamada de rotação .

Também podemos combinar vários tipos de transformação para criar outros mais complexos - por exemplo, uma tradução seguida por uma rotação.

Mas primeiro, vamos dar uma olhada em cada um desses tipos de transformações com mais detalhes.

Traduções

Uma tradução é uma transformação que move todos os pontos de uma figura pela mesma distância na mesma direção.

No plano de coordenadas, podemos especificar uma tradução pela distância que a forma é movida ao longo do eixo x e eixo y . Por exemplo, uma transformação por (3, 5) move uma forma por 3 ao longo do eixo x e por 5 ao longo do eixo y .

Traduzido por ( , )

Traduzido por ( , )

Traduzido por ( , )

Agora é sua vez - traduza as seguintes formas, como mostrado:

Traduzir por (3, 1)

Traduzir por (–4, –2)

Traduzir por (5, –1)

Reflexões

Um reflexo é uma transformação que "vira" ou "espelha" uma forma através de uma linha. Essa linha é chamada de linha de reflexão .

Desenhe a linha de reflexão em cada um destes exemplos:

Agora é sua vez - desenhe o reflexo de cada uma destas formas:

Observe que, se um ponto estiver na linha de reflexão, ele quando está refletido: sua imagem é o mesmo ponto que o original.

Em todos os exemplos acima, a linha de reflexão era horizontal, vertical ou em um ângulo de 45° - o que tornava mais fácil desenhar as reflexões. Se não for esse o caso, a construção exige um pouco mais de trabalho:

Para refletir essa forma na linha de reflexão , precisamos refletir todos os vértices individualmente e conectá-los novamente.

Vamos escolher um dos vértices e desenhar a linha através desse vértice que é perpendicular à linha de reflexão.

Agora podemos medir a distância do vértice à linha da reflexão e definir o ponto que tem a mesma distância do outro lado. (Podemos usar uma régua ou uma bússola para fazer isso.)

Podemos fazer o mesmo para todos os outros vértices de nossa forma.

Agora só precisamos conectar os vértices refletidos na ordem correta e encontramos a reflexão!

Rotações

Uma rotação é uma transformação que "transforma" uma forma em um determinado ângulo em torno de um ponto fixo. Esse ponto é chamado de centro de rotação . As rotações podem ser no sentido horário ou anti-horário.

Tente girar as formas abaixo em torno do centro de rotação vermelho:

Gire 90° no sentido horário.

Gire 180°.

Gire 90° no sentido anti-horário.

É mais difícil desenhar rotações que não sejam exatamente 90° ou 180°. Vamos tentar girar essa forma ${10*ang}° em torno do centro de rotação .

Como nas reflexões, temos que girar cada ponto de uma forma individualmente.

Começamos escolhendo um dos vértices e desenhando uma linha para o centro de rotação.

Usando um transferidor , podemos medir um ângulo de ${ang*10}° em torno do centro de rotação. Vamos desenhar uma segunda linha nesse ângulo.

Usando uma bússola ou régua, podemos encontrar um ponto nessa linha que tem a mesma distância do centro de rotação que o ponto original.

Agora temos que repetir essas etapas para todos os outros vértices de nossa forma.

E, finalmente, como antes, podemos conectar os vértices individuais para obter a imagem girada de nossa forma original.

As transformações são um conceito importante em muitas partes da matemática, não apenas na geometria. Por exemplo, você pode transformar funções deslocando ou girando seus gráficos . Você também pode usar transformações para determinar se duas formas são congruentes .