Círculos e PiGraus e radianos

Até agora em geometria, sempre medimos ângulos em graus. Uma rotação do círculo completo é °, um meio-círculo é °, um quarto de círculo é ° e assim por diante.

O número 360 é muito conveniente porque é divisível por muitos outros números: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 e assim por diante. Isso significa que muitas frações de um círculo também são números inteiros. Mas você já se perguntou de onde vem o número 360?

Por acaso, 360 graus são um dos conceitos mais antigos em matemática que ainda usamos hoje. Eles foram desenvolvidos na antiga Babilônia, mais de 5000 anos atrás!

Naquela época, uma das aplicações mais importantes da matemática estava na astronomia. O sol determina as quatro estações do ano, as quais os agricultores precisam conhecer ao cultivar. Da mesma forma, a lua determina as marés, o que era importante para os pescadores. As pessoas também estudavam as estrelas para prever o futuro ou para se comunicar com os deuses.

Uma tábua babilônica para calcular 2

Os astrônomos notaram que as constelações visíveis em um horário específico durante a noite mudavam um pouquinho todos os dias - até que, após aproximadamente 360 dias, eles haviam voltado ao ponto inicial. E essa pode ter sido a razão pela qual eles dividiram o círculo em 360 graus.

Midnight on day ${day}

Certamente, existem 365 dias em um ano (bem, 365.242199 para ser exato), mas os matemáticos babilônicos trabalhavam com relógios de sol simples, e essa aproximação era perfeitamente adequada.

Também funcionou bem com o sistema de números da base 60 existente (desde 6×60=360). Esse sistema é a razão pela qual ainda temos 60 segundos em um minuto e 60 minutos em uma hora - embora a maioria das outras unidades seja medida em base 10 (por exemplo, 10 anos em uma década ou 100 anos em uma século).

Para muitos de nós, medir ângulos em graus é uma segunda natureza: existe um vídeo em 360°, os skatistas conseguem 540s e alguém que muda de decisão pode fazer uma curva de 180°. Mas, do ponto de vista matemático, a escolha do 360 é completamente arbitrária. Se estivéssemos vivendo em Marte, um círculo pode ter 670 ° e um ano em Júpiter tem até 10.475 dias.

Os 540 McFlip, uma rotação de 540°

Radianos

Em vez de dividir um círculo em algum número de segmentos (como 360 graus), os matemáticos geralmente preferem meça ângulos usando a circunferência de um círculo unitário (um círculo com raio 1).

Um tem circunferência .

Para uma , a distância correspondente ao longo da circunferência é .

Para uma rotação de , a distância ao longo da circunferência é .

E assim por diante: essa maneira de medir ângulos é chamada radianos (você pode se lembrar disso como “unidades de raio”).

Todo ângulo em graus tem um tamanho equivalente em radianos. A conversão entre os dois é muito fácil - assim como você pode converter entre outras unidades, como metros e quilômetros, ou Celsius e Fahrenheit:

360 ° = 2 π rad

⇒ 1 ° = rad

⇒ 1 rad = °

Você pode escrever o valor de radianos como um múltiplo de π ou como apenas um único número decimal. Você pode preencher esta tabela de tamanhos de ângulo equivalentes em graus e radianos?

graus

0 60

180

radianos

Distância percorrida

Você pode pensar em radianos como a “distância percorrida” ao longo da circunferência de um círculo unitário. Isso é particularmente útil ao trabalhar com objetos que estão se movendo em um caminho circular.

Por exemplo, a Estação Espacial Internacional orbita a Terra uma vez a cada 1,5 horas. Isso significa que sua velocidade de rotação é radianos por hora.

Em um círculo unitário](gloss:unit-circle)](gloss:unit-circle), a velocidade de rotação é a mesma que a velocidade real, porque o comprimento da circunferência é o mesmo que uma rotação completa em radianos (ambos são 2π).

O raio da órbita da ISS é 6800 km, o que significa que a velocidade real da ISS deve ser = 28483 km por hora.

${round(p*1.5,1)}h

Você pode ver que, neste exemplo, os radianos são uma unidade muito mais conveniente que os graus? Uma vez que conhecemos a velocidade de rotação, simplesmente precisamos multiplicar pelo raio para obter a velocidade real. Aqui está outro exemplo: seu carro tem rodas com raio de 0,25 m. Se você estiver dirigindo a uma velocidade de 20 m/s, as rodas do seu carro giram a radianos por segundo (ou 802π=13 rotações por segundo).

Trigonometria

Para a maioria dos problemas simples de geometria, os graus e os radianos são completamente intercambiáveis - você pode escolher qual deles prefere ou uma pergunta pode dizer em que unidade você deve responder. , depois de estudar os cálculos mais avançados da trigonometria ou, verifica-se que os radianos são muito mais convenientes do que graus.

A maioria das calculadoras possui um botão especial](->.button.mode)](->.button.mode) para alternar entre graus e radianos. Funções trigonométricas como sin, cos e tan recebem ângulos como entrada e suas funções inversas arcsin, arccos e arctan retornam ângulos como saída. A configuração atual da calculadora determina quais unidades são usadas para esses ângulos. Tente usar esta calculadora para calcular que

sin (30 °) = cos (1 °) = sin (30 rad) = cos (1 rad) =

DEG

sin

cos

tan

mode

O uso de radianos tem uma vantagem particularmente interessante ao usar a função Seno. Se θ for um ângulo muito pequeno (menor que 20 ° ou 0,3 rad), então sinθ≈θ. Por exemplo, {.text-center} sin (${x}) ≈ ${sin(x)}…

Isso é chamado de aproximação de ângulo pequeno, e pode simplificar bastante certas equações que contêm funções trigonométricas. Você aprenderá muito mais sobre isso no futuro.

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