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Círculos e PiEsferas, cones e cilindros

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Nas seções anteriores, estudamos as propriedades dos círculos em uma superfície plana. Mas nosso mundo é realmente tridimensional, então vamos dar uma olhada em alguns sólidos 3D baseados em círculos:

Um cilindro consiste em dois círculos congruentes e paralelos unidos por uma superfície curva.

Um cone possui uma base circular unida a um único ponto (chamado de vértice).

Todo ponto na superfície de uma esfera tem a mesma distância do seu centro.

Observe como a definição de uma esfera é quase a mesma que a definição de um - exceto em três dimensões!

Cilindros

Aqui você pode ver o Gasômetro cilíndrico em Oberhausen, Alemanha. Ele costumava armazenar gás natural que era usado como combustível em fábricas e usinas próximas. O Gasômetro tem 120m de altura e sua base e teto são dois grandes círculos com raio de 35m. Há duas perguntas importantes que os engenheiros podem querer responder:

  • Quanto gás natural pode ser armazenado? Este é o do cilindro.
  • Quanto aço é necessário para construir o Gasômetro? Esta é (aproximadamente) a área de superfície [[do cilindro.

Vamos tentar encontrar fórmulas para esses dois resultados!

Gasômetro Oberhausen

Volume de um cilindro

A parte superior e inferior de um cilindro são dois círculos congruentes, chamados bases. A altura h de um cilindro é a distância perpendicular entre essas bases e o raio r de um cilindro. cilindro é simplesmente o raio das bases circulares.

Podemos aproximar um cilindro usando um prisma ${n} do lado do lado ${n}. À medida que o número de lados aumenta, o prisma começa a parecer cada vez mais um cilindro:

Mesmo que tecnicamente um cilindro não seja um prisma, eles compartilham muitas propriedades. Em ambos os casos, podemos encontrar o volume multiplicando a área da base pela altura . Isso significa que um cilindro com raio r e altura h tem volume

V=

Lembre-se de que raio e altura devem usar as mesmas unidades. Por exemplo, se r e h estão ambos em cm, o volume estará em .

Nos exemplos acima, as duas bases do cilindro sempre estavam diretamente acima uma da outra: isso é chamado de cilindro direito. Se as bases não estão diretamente acima uma da outra, temos um cilindro oblíquo. As bases ainda são paralelas, mas os lados parecem "inclinar-se" em um ângulo que não é de 90 °.

A torre inclinada de Pisa na Itália não é um cilindro oblíquo.

O volume de um cilindro oblíquo é exatamente o mesmo que o de um cilindro direito com o mesmo raio e altura. Isso se deve ao Princípio de Cavalieri, nomeado em homenagem ao matemático italiano Bonaventura Cavalieri: se dois sólidos têm a mesma área de seção transversal em todas as alturas, terão tem o mesmo volume.

Imagine dividir um cilindro em vários discos finos. Podemos então deslizar esses discos na horizontal para obter um cilindro oblíquo. O volume dos discos individuais não muda à medida que você é oblíquo; portanto, o volume total também permanece constante:

Área de superfície de um cilindro

Para encontrar a área de superfície de um cilindro, precisamos desenrolá-lo em sua rede plana. Você pode tentar fazer isso sozinho, por exemplo, descolando o rótulo de uma lata de comida.

Existem dois , um na parte superior e outro na parte inferior do cilindro. O lado curvo é na verdade um grande .

  • Os dois círculos cada um têm a área .
  • A altura do retângulo é e a largura do retângulo é a mesma que a dos círculos: .

Isso significa que a área total de um cilindro com raio r e altura h é dada por

A= .

Os cilindros podem ser encontrados em todo o mundo - desde latas de refrigerante a papel higiênico ou canos de água. Você pode pensar em outros exemplos?

O Gasômetro acima tinha um raio de 35m e uma altura de 120m. Agora podemos calcular que seu volume é de aproximadamente m3 e sua área de superfície é de aproximadamente m2.

Cones

Um cone é um sólido tridimensional que possui uma base circular . Seu lado “afunila para cima”, como mostra o diagrama, e termina em um único ponto chamado vértice.

O raio do cone é o raio da base circular, e a altura do cone é a distância perpendicular da base ao vértice.

Assim como outras formas que conhecemos antes, os cones estão por toda parte: sorvetes, cones de trânsito, certos telhados e até árvores de natal. O que mais você pode pensar?

Volume de um cone

Anteriormente, encontramos o volume de um cilindro aproximando-o usando um prisma. Da mesma forma, podemos encontrar o volume de um cone aproximando-o usando uma pirâmide.

Aqui você pode ver uma pirâmide do lado ${n}. À medida que o número de lados aumenta, a pirâmide começa a parecer cada vez mais um cone. De fato, poderíamos pensar em um cone como uma pirâmide com infinitamente muitos lados!

Isso também significa que também podemos usar a equação para o volume: V=13base×height. A base de um cone é um círculo, portanto, o volume de um cone com raio r e altura h é

V=

Observe a semelhança com a equação para o volume de um cilindro. Imagine desenhar um cilindro em torno de do cone, com a mesma base e altura - isso é chamado de cilindro circunscrito. Agora, o cone ocupará exatamente do volume do cilindro:

Nota: Você pode pensar que infinitamente muitos lados pequenos como aproximação são um pouco "imprecisos". A matemática passou muito tempo tentando encontrar uma maneira mais direta de calcular o volume de um cone. Em 1900, o grande matemático David Hilbert o nomeou como um dos 23 problemas não resolvidos mais importantes da matemática! Hoje sabemos que é realmente impossível.

Assim como um cilindro, um cone não precisa ser "reto". Se o vértice estiver diretamente sobre o centro da base, temos um cone direito. Caso contrário, chamamos de um cone oblíquo.

Mais uma vez, podemos usar o princípio de Cavalieri para mostrar que todos os cones oblíquos têm o mesmo volume, desde que tenham a mesma base e altura.

Área de superfície de um cone

Encontrar a área da superfície de um cone é um pouco mais complicado. Como antes, podemos desvendar um cone em sua rede. Mova o controle deslizante para ver o que acontece: nesse caso, temos um círculo e um .

Agora precisamos adicionar a área desses dois componentes. A base é um círculo com raio r; portanto, sua área é

ABase= .

O raio do setor é o mesmo que a distância da borda de um cone ao seu vértice. Isso é chamado de altura inclinada s do cone, e não é o mesmo que a normal altura h . Podemos encontrar a altura inclinada usando Pitágoras:

s2=
s=

O comprimento do arco do setor é o mesmo que a da base: 2πr. Agora podemos encontrar a área do setor usando a fórmula que derivamos em uma seção anterior:

ASector=ACircle×arccircumference
=

Finalmente, basta adicionar a área da base e a área do setor , para obter a superfície total do cone:

A=

Esferas

Uma esfera é um sólido tridimensional que consiste em todos os pontos que têm a mesma distância de um determinado centro C. Essa distância é chamada raio r da esfera.

Você pode pensar em uma esfera como um "círculo tridimensional". Assim como um círculo, uma esfera também tem de diâmetro d, que é o comprimento do raio, bem como acordes e secantes.

Em uma seção anterior de, você aprendeu como o matemático grego Eratóstenes calculou o raio da Terra usando a sombra de um poste - eram 6.371 km. Agora, vamos tentar encontrar o volume total e a área de superfície da Terra.

Volume de uma esfera

Para encontrar o volume de uma esfera, mais uma vez precisamos usar o Princípio de Cavalieri. Vamos começar com um hemisfério - uma esfera cortada ao meio ao longo do equador. Também precisamos de um cilindro com o mesmo raio e altura do hemisfério, mas com um cone invertido “cortado” no meio.

Ao mover o controle deslizante acima, você pode ver a seção transversal de ambas as formas em uma altura específica acima da base:

Vamos tentar encontrar a área de seção transversal de ambos os sólidos, a uma distância de altura h acima da base.

A seção transversal do hemisfério é sempre um .

O raio x da seção transversal é parte de um triângulo retângulo, para que possamos usar {1111 Pitágoras](gloss:pythagoras-theorem):

r2=h2+x2.

Agora, a área da seção transversal é

A=

A seção transversal do cilindro de corte é sempre um .

O raio do furo é h. Podemos encontrar a área do anel subtraindo a área do furo da área do círculo maior:

A=πr2πh2
=πr2h2

Parece que os dois sólidos têm a mesma área de seção transversal em todos os níveis. Pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos também devem ter o mesmo ! Podemos encontrar o volume do hemisfério subtraindo o volume do cilindro e o volume do cone:

VHemisphere=VCylinderVCone
=

Uma esfera consiste em hemisférios, , o que significa que seu volume deve ser

V=43πr3.

A Terra é (aproximadamente) uma esfera com um raio de 6.371  km. Portanto, seu volume é

V=
= 1 km3

A densidade média da Terra é 5510kg/m3. Isso significa que sua massa total é

Mass=Volume×Density6×1024kg

Esse é um 6 seguido por 24 zeros!

Se você comparar as equações para o volume de um cilindro, cone e esfera, poderá observar uma das relações mais satisfatórias em geometria. Imagine que temos um cilindro com a mesma altura que o diâmetro de sua base. Agora podemos encaixar perfeitamente um cone e uma esfera em seu interior:

+

Este cone tem raio r e altura 2r. Seu volume é

=

Esta esfera tem raio r. Seu volume é

Este cilindro tem raio r e altura 2r. Seu volume é

Observe como, se somarmos|subtract|multiply]] o volume do cone e da esfera, obteremos exatamente o volume do cilindro!

Área de superfície de uma esfera

Encontrar uma fórmula para a área de superfície de uma esfera é muito difícil. Uma razão é que não podemos abrir e "achatar" a superfície de uma esfera, como fizemos anteriormente para cones e cilindros.

Esse é um problema específico ao tentar criar mapas. A Terra possui uma superfície tridimensional curva, mas todo mapa impresso deve ser plano e bidimensional. Isso significa que os geógrafos precisam trapacear: esticando ou esmagando certas áreas.

Aqui você pode ver alguns tipos diferentes de mapas, chamados projeções. Tente mover o quadrado vermelho e observe como essa área realmente se parece em um globo:

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the 3-dimensional globe.

Para encontrar a área da superfície de uma esfera, podemos mais uma vez aproximá-la usando uma forma diferente - por exemplo, um poliedro com muitas faces. À medida que o número de faces aumenta, o poliedro começa a parecer cada vez mais uma esfera.

EM BREVE: Prova da área de superfície da esfera