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Tiếng ViệtCírculos e PiEsferas, cones e cilindros
Nas seções anteriores, estudamos as propriedades dos círculos em uma superfície plana. Mas nosso mundo é realmente tridimensional, então vamos dar uma olhada em alguns sólidos 3D baseados em círculos:
Um
Um
Todo ponto na superfície de uma
Observe como a definição de uma esfera é quase a mesma que a definição de um
Cilindros
Aqui você pode ver o Gasômetro cilíndrico em Oberhausen, Alemanha. Ele costumava armazenar gás natural que era usado como combustível em fábricas e usinas próximas. O Gasômetro tem 120m de altura e sua base e teto são dois grandes círculos com raio de 35m. Há duas perguntas importantes que os engenheiros podem querer responder:
- Quanto gás natural pode ser armazenado? Este é o
do cilindro. - Quanto aço é necessário para construir o Gasômetro? Esta é (aproximadamente) a área de superfície [[do cilindro.
Vamos tentar encontrar fórmulas para esses dois resultados!
Gasômetro Oberhausen
Volume de um cilindro
A parte superior e inferior de um cilindro são dois círculos congruentes, chamados bases. A altura h de um cilindro é a distância perpendicular entre essas bases e o raio r de um cilindro. cilindro é simplesmente o raio das bases circulares.
Podemos aproximar um cilindro usando um prisma
Mesmo que tecnicamente um cilindro não seja um prisma, eles compartilham muitas propriedades. Em ambos os casos, podemos encontrar o volume multiplicando a área da base pela altura . Isso significa que um cilindro com raio r e altura h tem volume
Lembre-se de que raio e altura devem usar as mesmas unidades. Por exemplo, se r e h estão ambos em cm, o volume estará em
Nos exemplos acima, as duas bases do cilindro sempre estavam diretamente acima uma da outra: isso é chamado de cilindro direito. Se as bases não estão diretamente acima uma da outra, temos um cilindro oblíquo. As bases ainda são paralelas, mas os lados parecem "inclinar-se" em um ângulo que não é de 90 °.
A torre inclinada de Pisa na Itália não é um cilindro oblíquo.
O volume de um cilindro oblíquo é exatamente o mesmo que o de um cilindro direito com o mesmo raio e altura. Isso se deve ao
Imagine dividir um cilindro em vários discos finos. Podemos então deslizar esses discos na horizontal para obter um cilindro oblíquo. O volume dos discos individuais não muda à medida que você é oblíquo; portanto, o volume total também permanece constante:
Área de superfície de um cilindro
Para encontrar a área de superfície de um cilindro, precisamos desenrolá-lo em sua
Existem dois
- Os dois círculos cada um têm a área
. - A altura do retângulo é
e a largura do retângulo é a mesma que a dos círculos: .
Isso significa que a área total de um cilindro com raio r e altura h é dada por
Os cilindros podem ser encontrados em todo o mundo - desde latas de refrigerante a papel higiênico ou canos de água. Você pode pensar em outros exemplos?
O Gasômetro acima tinha um raio de 35m e uma altura de 120m. Agora podemos calcular que seu volume é de aproximadamente
Cones
Um
O raio do cone é o raio da base circular, e a altura do cone é a distância perpendicular da base ao vértice.
Assim como outras formas que conhecemos antes, os cones estão por toda parte: sorvetes, cones de trânsito, certos telhados e até árvores de natal. O que mais você pode pensar?
Volume de um cone
Anteriormente, encontramos o volume de um cilindro aproximando-o usando um prisma. Da mesma forma, podemos encontrar o volume de um cone aproximando-o usando uma
Aqui você pode ver uma pirâmide do lado
Isso também significa que também podemos usar a equação para o volume:
Observe a semelhança com a equação para o volume de um cilindro. Imagine desenhar um cilindro em torno de do cone, com a mesma base e altura - isso é chamado de cilindro circunscrito. Agora, o cone ocupará exatamente
Nota: Você pode pensar que infinitamente muitos lados pequenos como aproximação são um pouco "imprecisos". A matemática passou muito tempo tentando encontrar uma maneira mais direta de calcular o volume de um cone. Em 1900, o grande matemático David Hilbert o nomeou como um dos 23 problemas não resolvidos mais importantes da matemática! Hoje sabemos que é realmente impossível.
Assim como um cilindro, um cone não precisa ser "reto". Se o vértice estiver diretamente sobre o centro da base, temos um cone direito. Caso contrário, chamamos de um cone oblíquo.
Mais uma vez, podemos usar o princípio de Cavalieri para mostrar que todos os cones oblíquos têm o mesmo volume, desde que tenham a mesma base e altura.
Área de superfície de um cone
Encontrar a área da superfície de um cone é um pouco mais complicado. Como antes, podemos desvendar um cone em sua rede. Mova o controle deslizante para ver o que acontece: nesse caso, temos um círculo e um
Agora precisamos adicionar a área desses dois componentes. A base é um círculo com raio r; portanto, sua área é
O raio do setor é o mesmo que a distância da borda de um cone ao seu vértice. Isso é chamado de altura inclinada s do cone, e não é o mesmo que a normal altura h . Podemos encontrar a altura inclinada usando
O comprimento do arco do setor é o mesmo que a
Finalmente, basta adicionar a área da base e a área do setor , para obter a superfície total do cone:
Esferas
Uma
Você pode pensar em uma esfera como um "
Em uma seção anterior de, você aprendeu como o matemático grego
Volume de uma esfera
Para encontrar o volume de uma esfera, mais uma vez precisamos usar o Princípio de Cavalieri. Vamos começar com um hemisfério - uma esfera cortada ao meio ao longo do equador. Também precisamos de um cilindro com o mesmo raio e altura do hemisfério, mas com um cone invertido “cortado” no meio.
Ao mover o controle deslizante acima, você pode ver a seção transversal de ambas as formas em uma altura específica acima da base:
Vamos tentar encontrar a área de seção transversal de ambos os sólidos, a uma distância de altura h acima da base.
A seção transversal do hemisfério é sempre um
O raio x da seção transversal é parte de um triângulo retângulo, para que possamos usar {1111 Pitágoras](gloss:pythagoras-theorem):
Agora, a área da seção transversal é
| A | = |
A seção transversal do cilindro de corte é sempre um
O raio do furo é h. Podemos encontrar a área do anel subtraindo a área do furo da área do círculo maior:
| A | = | |
| = |
Parece que os dois sólidos têm a mesma área de seção transversal em todos os níveis. Pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos também devem ter o mesmo
| = | ||
| = |
Uma esfera consiste em
A Terra é (aproximadamente) uma esfera com um raio de 6.371 km. Portanto, seu volume é
| 1 |
A densidade média da Terra é
Esse é um 6 seguido por 24 zeros!
Se você comparar as equações para o volume de um cilindro, cone e esfera, poderá observar uma das relações mais satisfatórias em geometria. Imagine que temos um cilindro com a mesma altura que o diâmetro de sua base. Agora podemos encaixar perfeitamente um cone e uma esfera em seu interior:
Este cone tem raio
Esta esfera tem raio
Este cilindro tem raio
Observe como, se somarmos|subtract|multiply]] o volume do cone e da esfera, obteremos exatamente o volume do cilindro!
Área de superfície de uma esfera
Encontrar uma fórmula para a área de superfície de uma esfera é muito difícil. Uma razão é que não podemos abrir e "achatar" a superfície de uma esfera, como fizemos anteriormente para cones e cilindros.
Esse é um problema específico ao tentar criar mapas. A Terra possui uma superfície tridimensional curva, mas todo mapa impresso deve ser plano e bidimensional. Isso significa que os geógrafos precisam trapacear: esticando ou esmagando certas áreas.
Aqui você pode ver alguns tipos diferentes de mapas, chamados projeções. Tente mover o quadrado vermelho e observe como essa área realmente se parece em um globo:
As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the 3-dimensional globe.
Para encontrar a área da superfície de uma esfera, podemos mais uma vez aproximá-la usando uma forma diferente - por exemplo, um poliedro com muitas faces. À medida que o número de faces aumenta, o poliedro começa a parecer cada vez mais uma esfera.
EM BREVE: Prova da área de superfície da esfera