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Círculos e PiIntrodução

Tempo de leitura: ~35 min
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Enquanto os humanos existirem, olhamos para o céu e tentamos explicar a vida na Terra usando o movimento de estrelas, planetas e lua.

Os astrônomos da Grécia antiga foram os primeiros a descobrir que todos os objetos celestes se movem em caminhos regulares, chamados órbita. Eles acreditavam que essas órbitas são sempre circulares. Afinal, os círculos são os "mais perfeitos" de todas as formas: simétricos em todas as direções e, portanto, uma escolha adequada para a ordem subjacente do nosso universo.

A Terra está no centro do universo ptolomaico_.

Todo ponto em um círculo tem a mesma distância do seu centro. Isso significa que eles podem ser desenhados usando uma bússola:

Há três medidas importantes relacionadas aos círculos que você precisa saber:

  • O raio é a distância do centro de um círculo até sua borda externa.
  • O de diâmetro é a distância entre dois pontos opostos em um círculo. Ele atravessa seu centro e seu comprimento é do raio.
  • A circunferência (ou perímetro) é a distância em torno de um círculo.

Uma propriedade importante dos círculos é que todos os círculos são similares. Você pode provar que, mostrando como todos os círculos podem ser combinados usando simplesmente traduções e dilatações:

Você deve se lembrar que, para polígonos semelhantes, a proporção entre os lados correspondentes é sempre constante. Algo semelhante funciona para os círculos: a razão entre a circunferência e o diâmetro é igual para todos os círculos. É sempre 3,14159… - um número misterioso chamado Pi, que geralmente é escrito como a letra grega π para “p”. O Pi possui infinitos dígitos decimais que permanecem para sempre sem nenhum padrão específico:

Aqui está uma roda com diâmetro 1. Ao desenrolar a circunferência, você pode ver que seu comprimento é exatamente :

01234π

Para um círculo com diâmetro d, a circunferência é C=π×d. Da mesma forma, para um círculo com raio r, a circunferência é

C= .

Os círculos são perfeitamente simétricos e não possuem "pontos fracos", como os cantos de um polígono. Esta é uma das razões pelas quais elas podem ser encontradas em qualquer lugar da natureza:

Flores

Planetas

Árvores

Fruta

Bolhas de sabão

E há muitos outros exemplos: de arco-íris a ondas de água. Você consegue pensar em mais alguma coisa?

Acontece também que um círculo é a forma com a maior área para uma determinada circunferência. Por exemplo, se você tiver uma corda de 100  m, poderá usá-la para incluir o maior espaço se formar um círculo (em vez de outras formas, como um retângulo ou triângulo).

Na natureza, objetos como gotas de água ou bolhas de ar podem economizar energia tornando-se circular ou esférico e reduzindo sua área de superfície.

Triangle
Square
Pentagon
Circle

Circunferência = 100, Área = ${area}

A área de um círculo

Mas como realmente calculamos a área de um círculo? Vamos tentar a mesma técnica que usamos para encontrar os quadriláteros da área: cortamos a forma em várias partes diferentes e as reorganizamos em uma forma diferente da qual já conhecemos a área (por exemplo, um retângulo ou um triângulo) .

A única diferença é que, como os círculos são curvos, precisamos usar algumas aproximações:

rπr

Aqui você pode ver um círculo dividido em ${toWord(n1)} fatias. Mova o controle deslizante para alinhar as fatias em uma linha.

Se aumentarmos o número de fatias para ${n1}, essa forma começa a parecer cada vez mais um retângulo.

A altura do retângulo é igual ao do círculo. A largura do retângulo é igual a do círculo. (Observe como metade das fatias estão viradas para baixo e metade delas estão viradas para baixo. para cima.)

Portanto, a área total do retângulo é de aproximadamente A=πr2.

r2πr

Aqui você pode ver um círculo dividido em ${toWord(n)} anéis. Como antes, você pode mover o controle deslizante para "desenrolar" os anéis.

Se aumentarmos o número de anéis para ${n2}, essa forma começa a parecer cada vez mais um .

A altura do triângulo é igual ao do círculo. A base do triângulo é igual a do círculo. Portanto, a área total do triângulo é aproximadamente

A=12base×height=πr2.

Se pudéssemos usar infinitamente muitos anéis ou cunhas, as aproximações acima seriam perfeitas - e ambas nos dão a mesma fórmula para a área de um círculo:

A=πr2.

Calculando Pi

Como você viu acima, π=3.1415926 não é um número inteiro simples e seus dígitos decimais duram para sempre, sem nenhum padrão de repetição. Os números com essa propriedade são chamados números irracionais e isso significa que π não pode ser expresso como uma fração simples ab.

Isso também significa que nunca podemos escrever todos os dígitos de Pi - afinal, existem infinitamente muitos. Os matemáticos gregos e chineses antigos calcularam os quatro primeiros dígitos decimais de Pi aproximando círculos usando polígonos regulares. Observe como, à medida que você adiciona mais lados, o polígono começa a parecer um círculo:

Em 1665, Isaac Newton conseguiu calcular 15 dígitos. Hoje, podemos usar computadores poderosos para calcular o valor do Pi com uma precisão muito maior.

O registro atual é de 31,4 trilhões de dígitos. Um livro impresso contendo todos esses dígitos teria aproximadamente 400  km de espessura - essa é a altura em que a Estação Espacial Internacional orbita a Terra!

Claro, você não precisa se lembrar de muitos dígitos do Pi. De fato, a fração 227=3.142 é uma grande aproximação.

Uma abordagem para calcular Pi é usar infinitas seqüências de números. Aqui está um exemplo que foi descoberto por Gottfried Wilhelm Leibniz em 1676:

π=4143+4547+494+

À medida que calculamos cada vez mais termos desta série, sempre seguindo o mesmo padrão, o resultado se aproxima cada vez mais de Pi.

Muitos matemáticos acreditam que Pi tem uma propriedade ainda mais curiosa: que é um número normal. Isso significa que os dígitos de 0 a 9 aparecem completamente aleatoriamente, como se a natureza tivesse rolado um dado de 10 lados infinitamente várias vezes, para determinar o valor de Pi.

Aqui você pode ver os primeiros 100 dígitos do Pi. Mova algumas das células para ver como os dígitos são distribuídos.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Se Pi é normal, significa que você pode pensar em qualquer sequência de dígitos e ela aparecerá em algum lugar em seus dígitos. Aqui você pode pesquisar o primeiro milhão de dígitos do Pi - eles contêm seu aniversário?

One Million Digits of Pi

Search for a string of digits:
3.

Poderíamos até converter um livro inteiro, como Harry Potter, em uma sequência muito longa de dígitos (a = 01, b = 02 e assim por diante). Se Pi for normal, essa sequência aparecerá em algum lugar em seus dígitos - mas levaria milhões de anos para calcular dígitos suficientes para encontrá-la.

Pi é fácil de entender, mas de importância fundamental em ciências e matemática. Essa pode ser uma razão pela qual Pi se tornou incomumente popular em nossa cultura (pelo menos em comparação com outros tópicos da matemática):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

Existe até um dia Pi a cada ano, que cai em 14 de março, porque π3.14, ou em 22 de julho, porque π227.