Círculos e PiIntrodução

Todo ponto em um círculo tem a mesma distância do seu centro. Isso significa que eles podem ser desenhados usando uma bússola:

Uma propriedade importante dos círculos é que todos os círculos são similares. Você pode provar que, mostrando como todos os círculos podem ser combinados usando simplesmente traduções e dilatações:

Você deve se lembrar que, para polígonos semelhantes, a proporção entre os lados correspondentes é sempre constante. Algo semelhante funciona para os círculos: a razão entre a circunferência e o diâmetro é igual para todos os círculos. É sempre 3,14159… - um número misterioso chamado Pi, que geralmente é escrito como a letra grega π para “p”. O Pi possui infinitos dígitos decimais que permanecem para sempre sem nenhum padrão específico:

Aqui está uma roda com diâmetro 1. Ao desenrolar a circunferência, você pode ver que seu comprimento é exatamente π2·π3:

Para um círculo com diâmetro d, a circunferência é C=π×d. Da mesma forma, para um círculo com raio r, a circunferência é

C= 2πrπrπr2.

Os círculos são perfeitamente simétricos e não possuem "pontos fracos", como os cantos de um polígono. Esta é uma das razões pelas quais elas podem ser encontradas em qualquer lugar da natureza:

E há muitos outros exemplos: de arco-íris a ondas de água. Você consegue pensar em mais alguma coisa? Continuar

A área de um círculo

Mas como realmente calculamos a área de um círculo? Vamos tentar a mesma técnica que usamos para encontrar os quadriláteros da área: cortamos a forma em várias partes diferentes e as reorganizamos em uma forma diferente da qual já conhecemos a área (por exemplo, um retângulo ou um triângulo) .

A única diferença é que, como os círculos são curvos, precisamos usar algumas aproximações:

Se pudéssemos usar infinitamente muitos anéis ou cunhas, as aproximações acima seriam perfeitas - e ambas nos dão a mesma fórmula para a área de um círculo:

A=πr2. Continuar

Calculando Pi

Como você viu acima, π=3.1415926… não é um número inteiro simples e seus dígitos decimais duram para sempre, sem nenhum padrão de repetição. Os números com essa propriedade são chamados números irracionais e isso significa que π não pode ser expresso como uma fração simples ab.

Isso também significa que nunca podemos escrever todos os dígitos de Pi - afinal, existem infinitamente muitos. Os matemáticos gregos e chineses antigos calcularam os quatro primeiros dígitos decimais de Pi aproximando círculos usando polígonos regulares. Observe como, à medida que você adiciona mais lados, o polígono começa a parecer cada vez maislessexactly um círculo:

Uma abordagem para calcular Pi é usar infinitas seqüências de números. Aqui está um exemplo que foi descoberto por Gottfried Wilhelm Leibniz em 1676:

π=41−43+45−47+49−4+…

À medida que calculamos cada vez mais termos desta série, sempre seguindo o mesmo padrão, o resultado se aproxima cada vez mais de Pi.

Se Pi é normal, significa que você pode pensar em qualquer sequência de dígitos e ela aparecerá em algum lugar em seus dígitos. Aqui você pode pesquisar o primeiro milhão de dígitos do Pi - eles contêm seu aniversário?

Poderíamos até converter um livro inteiro, como Harry Potter, em uma sequência muito longa de dígitos (a = 01, b = 02 e assim por diante). Se Pi for normal, essa sequência aparecerá em algum lugar em seus dígitos - mas levaria milhões de anos para calcular dígitos suficientes para encontrá-la.

Pi é fácil de entender, mas de importância fundamental em ciências e matemática. Essa pode ser uma razão pela qual Pi se tornou incomumente popular em nossa cultura (pelo menos em comparação com outros tópicos da matemática):

Existe até um dia Pi a cada ano, que cai em 14 de março, porque π≈3.14, ou em 22 de julho, porque π≈227.