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Tiếng ViệtPolígonos e PoliedrosQuadriláteros
No curso anterior , investigamos muitas propriedades diferentes de triângulos. Agora vamos dar uma olhada nos quadriláteros.
Um quadrilátero regular é chamado de
Um quadrado é um quadrilátero com quatro lados iguais e quatro ângulos iguais .
Para quadriláteros ligeiramente "menos regulares", temos duas opções. Se apenas queremos que os ângulos sejam iguais, obtemos um Um retânguloé um quadrilátero em que todos os quatro ângulos são 90 °. Um losango (o plural é losangos ou rhombi) é um quadrilátero em que todos os lados têm o mesmo comprimento.
Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos iguais .
Um losango é um quadrilátero com quatro lados iguais .
Existem alguns outros quadriláteros, que são ainda menos regulares, mas ainda possuem certas propriedades importantes:
Se ambos os pares de lados opostos são Duas ou mais linhas são paralelas se nunca se cruzarem. Eles têm a mesma inclinação e a distância entre eles é sempre constante.
Se dois pares de lados adjacentes tiverem o mesmo comprimento, obteremos uma pipa .
Se pelo menos um par de lados opostos é paralelo, obtemos um trapézio .
Os quadriláteros podem se enquadrar em várias dessas categorias. Podemos visualizar a hierarquia de diferentes tipos de quadriláteros como um Um diagrama de Vennvisualiza várias propriedades ou eventos que se sobrepõem.
Por exemplo, todo retângulo também é um
Para evitar qualquer ambiguidade, geralmente usamos apenas o tipo mais específico.
Agora escolha quatro pontos, em qualquer lugar da caixa cinza à esquerda. Podemos conectar todos eles para formar um quadrilátero.
Vamos encontrar o ponto médio de cada um dos quatro lados. Se conectarmos os pontos médios, obteremos
Tente mover os vértices do quadrilátero externo e observe o que acontece com o menor. Parece que não é qualquer quadrilátero, mas sempre um
Mas porque é esse o caso? Por que o resultado de qualquer quadrilátero sempre acaba sendo um paralelogramo? Para nos ajudar a explicar, precisamos desenhar uma das Uma diagonal de um polígono é um segmento de linha que conecta dois vértices que não estão próximos um do outro.
A diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos . E agora você pode ver que dois dos lados do quadrilátero interno são na verdade
No curso anterior , mostramos que os Os segmentos intermediários de um triângulo são as linhas que conectam os pontos médios dos diferentes lados do triângulo.
Podemos fazer exatamente o mesmo com a segunda diagonal do quadrilátero, para mostrar que os dois pares de lados opostos são paralelos. E isso é tudo o que precisamos para provar que o quadrilátero interno é um Um paralelogramo __é um quadrilátero em que ambos os pares de lados opostos são paralelos.
Paralelogramos
Acontece que os paralelogramos têm muitas outras propriedades interessantes, além de os lados opostos serem paralelos. Qual das seis afirmações a seguir é verdadeira?
Na geometria, duas figuras são congruentes se forem idênticas em tamanho, forma e medida. Isso significa que podemos movê-los, girá-los ou girá-los para encaixá-los exatamente um em cima do outro.
Uma bissetriz de ânguloé uma linha ou raio que divide um ângulo ao meio, em dois ângulos congruentes e menores.
Obviamente, simplesmente "observar" essas propriedades não é suficiente. Para ter certeza de que sempre são verdadeiras, precisamos provar :
Lados e ângulos opostos
Diagonais
Vamos tentar provar que os lados e ângulos opostos em um paralelogramo são sempre congruentes.
Comece desenhando uma das diagonais do paralelogramo.
A diagonal cria quatro novos ângulos com os lados do paralelogramo. Os dois ângulos vermelhos e os dois ângulos azuis são Ângulos alternativos são formados por duas linhas paralelas que são cruzadas por uma linha transversal e sempre são congruentes. No diagrama abaixo, cada um dos pares de ângulos marcados 1, 2, 3 e 4 são alternados. Os dois ângulos de cada par estão em uma linha paralela diferente e em lados opostos da travessia. Os pares de ângulos 1 e 2 são chamados ângulos externos alternativos, porque estão fora das linhas paralelas, e os pares de ângulos 3 e 4 são chamados ângulos internos alternativos.
Agora, se olharmos para os dois triângulos criados pela diagonal, vemos que eles têm dois ângulos congruentes e um lado congruente . Pelo
Isso significa que as outras partes correspondentes dos triângulos também devem ser congruentes: em particular, os dois pares de lados opostos são congruentes e os dois pares de ângulos opostos são congruentes.
Acontece que o inverso também é verdadeiro: se ambos os pares de lados opostos (ou ângulos) em um quadrilátero são congruentes, então o quadrilátero deve ser um paralelogramo.
Agora prove que as duas diagonais em um paralelogramo se cortam.
Vamos pensar nos dois triângulos amarelos gerados pelas diagonais:
- Acabamos de provar que os dois lados verdes são congruentes, porque são lados opostos de um paralelogramo. * Os dois ângulos vermelhos e dois azuis são congruentes, porque são
??? .
Pelo
Agora podemos usar o fato de que as partes correspondentes dos triângulos congruentes também são congruentes, para concluir que
Como antes, o oposto também é verdadeiro: se as duas diagonais de um quadrilátero se bissectam, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Kites
Mostramos acima que os dois pares de
O nome Kite vem claramente de sua forma: parece com as pipas que você pode voar no céu. No entanto, de todos os quadriláteros especiais que vimos até agora, o Kite é o único que também pode ser Um polígono côncavo possui pelo menos um ângulo interno maior que 180 °. Pelo menos uma das diagonais está fora de. Uma maneira comum de identificar um polígono côncavo é procurar um lado "cavado" do polígono. Côncavo é o oposto de polígonos convexos.
Uma pipa convexa
Uma pipa côncava que se parece com uma flecha
Você deve ter notado que todas as pipas são Se uma forma tem simetria reflexiva, o eixo de simetria__ é a linha que a divide em duas metades iguais.
A diagonal divide a pipa em dois triângulos congruentes . Sabemos que eles são congruentes com a condição Dois triângulos são congruentes se seus três lados tiverem o mesmo comprimento. Isso é chamado de condição de congruência SSS para triângulos.
Usando o CPOCT significa partes correspondentes de triângulos congruentes. Isso significa que, se dois triângulos são congruentes, todos os seus componentes correspondentes (ângulos, lados, segmentos intermediários ...) também devem ser congruentes entre si. CPOCT significa partes correspondentes de triângulos congruentes. Isso significa que, se dois triângulos são congruentes, todos os seus componentes correspondentes (ângulos, lados, segmentos intermediários ...) também devem ser congruentes entre si.
Isso significa, por exemplo, que a diagonal é uma
Podemos ir ainda mais longe: se desenharmos a outra diagonal, obteremos mais dois triângulos menores . Eles também devem ser congruentes, devido à condição do Dois triângulos são congruentes se seus três lados tiverem o mesmo comprimento. Isso é chamado de condição de congruência SSS para triângulos.
Isso significa que o ângulo α também deve ser o mesmo que o ângulo β . Como eles são adjacentes, Dois ângulos são suplementares se somarem 180 ° (um semicírculo).
Em outras palavras, as diagonais de uma pipa são sempre
Área dos Quadriláteros
Ao calcular a área de triângulos no curso anterior, usamos o truque de convertê-la em um
Paralelogramo
Trapézio
Pipa
Rhombus
À esquerda, tente desenhar um retângulo que tenha a mesma área que o paralelogramo.
Você pode ver que o triângulo que falta à esquerda é
Área = base × altura
Cuidado ao medir a altura de um paralelogramo: geralmente não é o mesmo que um dos dois lados.
Lembre-se de que os trapézios são quadrilaterais com um par de lados paralelos . Esses lados paralelos são chamados de bases do trapézio.
Como antes, tente desenhar um retângulo que tenha a mesma área desse trapézio. Você pode ver como os triângulos ausentes e adicionados à esquerda e à direita se cancelam?
o altura deste retângulo é a
o largura do retângulo é a distância entre os
Como nos Os segmentos intermediários de um triângulo são as linhas que conectam os pontos médios dos diferentes lados do triângulo.
Se combinarmos tudo isso, obteremos uma equação para a área de um trapézio com os lados paralelos a e ce altura h :
Nesta pipa, as duas diagonais formam a largura e a altura de um grande retângulo que circunda a pipa.
A área desse retângulo é
Isso significa que a área de uma pipa com diagonais d1 e d2 é
Área =
Um Um losango (o plural é losangos ou rhombi) é um quadrilátero em que todos os lados têm o mesmo comprimento.
Isso significa que, para encontrar a área de um losango, podemos usar a equação para a área de um paralelogramo ou a área de uma pipa:
Área = base × height =
Em contextos diferentes, você pode receber partes diferentes de um losango (lados, altura, diagonais) e escolher a equação mais conveniente.