English
عربى
中文
Deutsch
Español
Français
हिन्दी
Hrvatski
Italiano
日本語
Português
Română
Русский
Svenska
Türkçe
Tiếng ViệtPolígonos e PoliedrosQuadriláteros
No curso anterior , investigamos muitas propriedades diferentes de triângulos. Agora vamos dar uma olhada nos quadriláteros.
Um quadrilátero regular é chamado de
Um quadrado é um quadrilátero com quatro lados iguais e quatro ângulos iguais .
Para quadriláteros ligeiramente "menos regulares", temos duas opções. Se apenas queremos que os ângulos sejam iguais, obtemos um
Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos iguais .
Um losango é um quadrilátero com quatro lados iguais .
Existem alguns outros quadriláteros, que são ainda menos regulares, mas ainda possuem certas propriedades importantes:
Se ambos os pares de lados opostos são
Se dois pares de lados adjacentes tiverem o mesmo comprimento, obteremos uma pipa .
Se pelo menos um par de lados opostos é paralelo, obtemos um trapézio .
Os quadriláteros podem se enquadrar em várias dessas categorias. Podemos visualizar a hierarquia de diferentes tipos de quadriláteros como um
Por exemplo, todo retângulo também é um
Para evitar qualquer ambiguidade, geralmente usamos apenas o tipo mais específico.
Agora escolha quatro pontos, em qualquer lugar da caixa cinza à esquerda. Podemos conectar todos eles para formar um quadrilátero.
Vamos encontrar o ponto médio de cada um dos quatro lados. Se conectarmos os pontos médios, obteremos
Tente mover os vértices do quadrilátero externo e observe o que acontece com o menor. Parece que não é qualquer quadrilátero, mas sempre um
Mas porque é esse o caso? Por que o resultado de qualquer quadrilátero sempre acaba sendo um paralelogramo? Para nos ajudar a explicar, precisamos desenhar uma das
A diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos . E agora você pode ver que dois dos lados do quadrilátero interno são na verdade
No curso anterior , mostramos que os
Podemos fazer exatamente o mesmo com a segunda diagonal do quadrilátero, para mostrar que os dois pares de lados opostos são paralelos. E isso é tudo o que precisamos para provar que o quadrilátero interno é um
Paralelogramos
Acontece que os paralelogramos têm muitas outras propriedades interessantes, além de os lados opostos serem paralelos. Qual das seis afirmações a seguir é verdadeira?
Obviamente, simplesmente "observar" essas propriedades não é suficiente. Para ter certeza de que sempre são verdadeiras, precisamos provar :
Lados e ângulos opostos
Vamos tentar provar que os lados e ângulos opostos em um paralelogramo são sempre congruentes.
Comece desenhando uma das diagonais do paralelogramo.
A diagonal cria quatro novos ângulos com os lados do paralelogramo. Os dois ângulos vermelhos e os dois ângulos azuis são
Agora, se olharmos para os dois triângulos criados pela diagonal, vemos que eles têm dois ângulos congruentes e um lado congruente . Pelo
Isso significa que as outras partes correspondentes dos triângulos também devem ser congruentes: em particular, os dois pares de lados opostos são congruentes e os dois pares de ângulos opostos são congruentes.
Acontece que o inverso também é verdadeiro: se ambos os pares de lados opostos (ou ângulos) em um quadrilátero são congruentes, então o quadrilátero deve ser um paralelogramo.
Diagonais
Agora prove que as duas diagonais em um paralelogramo se cortam.
Vamos pensar nos dois triângulos amarelos gerados pelas diagonais:
- Acabamos de provar que os dois lados verdes são congruentes, porque são lados opostos de um paralelogramo. * Os dois ângulos vermelhos e dois azuis são congruentes, porque são
.
Pelo
Agora podemos usar o fato de que as partes correspondentes dos triângulos congruentes também são congruentes, para concluir que
Como antes, o oposto também é verdadeiro: se as duas diagonais de um quadrilátero se bissectam, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Kites
Mostramos acima que os dois pares de
O nome Kite vem claramente de sua forma: parece com as pipas que você pode voar no céu. No entanto, de todos os quadriláteros especiais que vimos até agora, o Kite é o único que também pode ser
Uma pipa convexa
Uma pipa côncava que se parece com uma flecha
Você deve ter notado que todas as pipas são
A diagonal divide a pipa em dois triângulos congruentes . Sabemos que eles são congruentes com a condição
Usando o
Isso significa, por exemplo, que a diagonal é uma
Podemos ir ainda mais longe: se desenharmos a outra diagonal, obteremos mais dois triângulos menores . Eles também devem ser congruentes, devido à condição do
Isso significa que o ângulo α também deve ser o mesmo que o ângulo β . Como eles são adjacentes,
Em outras palavras, as diagonais de uma pipa são sempre
Área dos Quadriláteros
Ao calcular a área de triângulos no curso anterior, usamos o truque de convertê-la em um
Paralelogramo
À esquerda, tente desenhar um retângulo que tenha a mesma área que o paralelogramo.
Você pode ver que o triângulo que falta à esquerda é
Área = base × altura
Cuidado ao medir a altura de um paralelogramo: geralmente não é o mesmo que um dos dois lados.
Trapézio
Lembre-se de que os trapézios são quadrilaterais com um par de lados paralelos . Esses lados paralelos são chamados de bases do trapézio.
Como antes, tente desenhar um retângulo que tenha a mesma área desse trapézio. Você pode ver como os triângulos ausentes e adicionados à esquerda e à direita se cancelam?
o altura deste retângulo é a
o largura do retângulo é a distância entre os
Como nos
Se combinarmos tudo isso, obteremos uma equação para a área de um trapézio com os lados paralelos a e ce altura h :
Pipa
Nesta pipa, as duas diagonais formam a largura e a altura de um grande retângulo que circunda a pipa.
A área desse retângulo é
Isso significa que a área de uma pipa com diagonais d1 e d2 é
Área =
Rhombus
Um
Isso significa que, para encontrar a área de um losango, podemos usar a equação para a área de um paralelogramo ou a área de uma pipa:
Área = base × height =
Em contextos diferentes, você pode receber partes diferentes de um losango (lados, altura, diagonais) e escolher a equação mais conveniente.