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Polígonos e PoliedrosQuadriláteros

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No curso anterior , investigamos muitas propriedades diferentes de triângulos. Agora vamos dar uma olhada nos quadriláteros.

Um quadrilátero regular é chamado de . Todos os seus lados têm o mesmo comprimento e todos os seus ângulos são iguais.

Um quadrado é um quadrilátero com quatro lados iguais e quatro ângulos iguais .

Para quadriláteros ligeiramente "menos regulares", temos duas opções. Se apenas queremos que os ângulos sejam iguais, obtemos um retângulo . Se apenas queremos que os lados sejam iguais, obtemos um losango .

Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos iguais .

Um losango é um quadrilátero com quatro lados iguais .

Existem alguns outros quadriláteros, que são ainda menos regulares, mas ainda possuem certas propriedades importantes:

Se ambos os pares de lados opostos são paralelos , obtemos um paralelogramo .

Se dois pares de lados adjacentes tiverem o mesmo comprimento, obteremos uma pipa .

Se pelo menos um par de lados opostos é paralelo, obtemos um trapézio .

Os quadriláteros podem se enquadrar em várias dessas categorias. Podemos visualizar a hierarquia de diferentes tipos de quadriláteros como um diagrama de Venn :

Por exemplo, todo retângulo também é um , e todo também é uma pipa. um losango um quadrado e um retângulo são um trapézio.

Para evitar qualquer ambiguidade, geralmente usamos apenas o tipo mais específico.

Agora escolha quatro pontos, em qualquer lugar da caixa cinza à esquerda. Podemos conectar todos eles para formar um quadrilátero.

Vamos encontrar o ponto médio de cada um dos quatro lados. Se conectarmos os pontos médios, obteremos .

Tente mover os vértices do quadrilátero externo e observe o que acontece com o menor. Parece que não é qualquer quadrilátero, mas sempre um !

Mas porque é esse o caso? Por que o resultado de qualquer quadrilátero sempre acaba sendo um paralelogramo? Para nos ajudar a explicar, precisamos desenhar uma das diagonais do quadrilátero original.

A diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos . E agora você pode ver que dois dos lados do quadrilátero interno são na verdade desses triângulos.

No curso anterior , mostramos que os segmentos intermediários de um triângulo são sempre paralelos à sua base. Nesse caso, significa que ambos os lados são paralelos à diagonal - portanto, eles também devem ser .

Podemos fazer exatamente o mesmo com a segunda diagonal do quadrilátero, para mostrar que os dois pares de lados opostos são paralelos. E isso é tudo o que precisamos para provar que o quadrilátero interno é um paralelogramo .

Paralelogramos

Acontece que os paralelogramos têm muitas outras propriedades interessantes, além de os lados opostos serem paralelos. Qual das seis afirmações a seguir é verdadeira?

The opposite sides are congruent.
The internal angles are always less than 90°.
The diagonals bisect the internal angles.
The opposite angles are congruent.
Both diagonals are congruent.
Adjacent sides have the same length
The two diagonals bisect each other in the middle.

Obviamente, simplesmente "observar" essas propriedades não é suficiente. Para ter certeza de que sempre são verdadeiras, precisamos provar :

Lados e ângulos opostos

Vamos tentar provar que os lados e ângulos opostos em um paralelogramo são sempre congruentes.

Comece desenhando uma das diagonais do paralelogramo.

A diagonal cria quatro novos ângulos com os lados do paralelogramo. Os dois ângulos vermelhos e os dois ângulos azuis são ângulos alternados , portanto, cada um deles deve ser .

Agora, se olharmos para os dois triângulos criados pela diagonal, vemos que eles têm dois ângulos congruentes e um lado congruente . Pelo condição de congruência , ambos os triângulos devem ser congruentes.

Isso significa que as outras partes correspondentes dos triângulos também devem ser congruentes: em particular, os dois pares de lados opostos são congruentes e os dois pares de ângulos opostos são congruentes.

Acontece que o inverso também é verdadeiro: se ambos os pares de lados opostos (ou ângulos) em um quadrilátero são congruentes, então o quadrilátero deve ser um paralelogramo.

Diagonais

Agora prove que as duas diagonais em um paralelogramo se cortam.

Vamos pensar nos dois triângulos amarelos gerados pelas diagonais:

  • Acabamos de provar que os dois lados verdes são congruentes, porque são lados opostos de um paralelogramo. * Os dois ângulos vermelhos e dois azuis são congruentes, porque são .

Pelo condição , os dois triângulos amarelos também devem ser congruentes.

Agora podemos usar o fato de que as partes correspondentes dos triângulos congruentes também são congruentes, para concluir que AM = CM e BM = DM . Em outras palavras, as duas diagonais se cruzam em seus pontos médios.

Como antes, o oposto também é verdadeiro: se as duas diagonais de um quadrilátero se bissectam, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Kites

Mostramos acima que os dois pares de lados de um paralelogramo são congruentes. Em uma pipa, dois pares de lados adjacentes são congruentes.

O nome Kite vem claramente de sua forma: parece com as pipas que você pode voar no céu. No entanto, de todos os quadriláteros especiais que vimos até agora, o Kite é o único que também pode ser côncavo : se tiver o formato de um dardo ou flecha:

Uma pipa convexa

Uma pipa côncava que se parece com uma flecha

Você deve ter notado que todas as pipas são . O eixo da simetria é .

A diagonal divide a pipa em dois triângulos congruentes . Sabemos que eles são congruentes com a condição SSS : ambos os triângulos têm três lados congruentes (vermelho, verde e azul).

Usando o CPOCT , sabemos , portanto, que os ângulos correspondentes também devem ser congruentes.

Isso significa, por exemplo, que a diagonal é uma dos dois ângulos nas extremidades.

Podemos ir ainda mais longe: se desenharmos a outra diagonal, obteremos mais dois triângulos menores . Eles também devem ser congruentes, devido à condição do SAS : eles têm os mesmos dois lados e ângulo incluído .

Isso significa que o ângulo α também deve ser o mesmo que o ângulo β . Como eles são adjacentes, os ângulos suplementares α e β devem ser °.

Em outras palavras, as diagonais de uma pipa são sempre .

Área dos Quadriláteros

Ao calcular a área de triângulos no curso anterior, usamos o truque de convertê-la em um . Acontece que também podemos fazer isso em alguns quadriláteros:

Paralelogramo

À esquerda, tente desenhar um retângulo que tenha a mesma área que o paralelogramo.

Você pode ver que o triângulo que falta à esquerda é o triângulo sobreposto à direita? Portanto, a área de um paralelogramo é

Área = base × altura

Cuidado ao medir a altura de um paralelogramo: geralmente não é o mesmo que um dos dois lados.

Trapézio

Lembre-se de que os trapézios são quadrilaterais com um par de lados paralelos . Esses lados paralelos são chamados de bases do trapézio.

Como antes, tente desenhar um retângulo que tenha a mesma área desse trapézio. Você pode ver como os triângulos ausentes e adicionados à esquerda e à direita se cancelam?

o altura deste retângulo é a lados paralelos do trapézio.

o largura do retângulo é a distância entre os dos dois lados não paralelos do trapézio. Isso é chamado de meio segmento do trapézio.

Como nos triângulos , o segmento intermediário de um trapézio é suas duas bases. O comprimento do meio segmento é a média dos comprimentos das bases: a+c2 .

Se combinarmos tudo isso, obteremos uma equação para a área de um trapézio com os lados paralelos a e ce altura h :

A=h×a+c2

Pipa

Nesta pipa, as duas diagonais formam a largura e a altura de um grande retângulo que circunda a pipa.

A área desse retângulo é a área da pipa. Você consegue ver como cada um dos quatro triângulos que compõem a pipa é igual às quatro lacunas fora dela?

Isso significa que a área de uma pipa com diagonais d1 e d2 é

Área = 12 d1 × d2

Rhombus

Um losango é um quadrilátero que possui quatro lados congruentes. Você deve se lembrar que todo losango é um - e também uma .

Isso significa que, para encontrar a área de um losango, podemos usar a equação para a área de um paralelogramo ou a área de uma pipa:

Área = base × height = 12 d1 × d2

Em contextos diferentes, você pode receber partes diferentes de um losango (lados, altura, diagonais) e escolher a equação mais conveniente.