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Polígonos e PoliedrosSólidos platônicos

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No início deste curso, definimos polígonos regulares como polígonos particularmente "simétricos", onde todos os lados e ângulos são iguais. Podemos fazer algo semelhante para o poliedro.

Em um poliedro regular, todas as faces são do mesmo tipo de polígono regular e o mesmo número de faces se encontra em todos os vértices . Os poliedros com essas duas propriedades são chamados sólidos platônicos , nomeados em homenagem ao filósofo grego Platão .

Então, como são os sólidos platônicos - e quantos deles existem? Para criar uma forma tridimensional, precisamos de pelo menos faces para se encontrar em cada vértice. Vamos começar sistematicamente com o menor polígono regular: triângulos equilaterais:

Se criarmos um poliedro em que três triângulos equilaterais se encontram em cada vértice, obtemos a forma à esquerda. É chamado de tetraedro e tem faces. ("Tetra" significa "quatro" em grego).

Se quatro triângulos equilaterais se encontram em cada vértice, obtemos um sólido platônico diferente. É chamado de octaedro e tem faces. ("Octa" significa "oito" em grego. Assim como "Octógono" significa formato de 8 lados, "Octaedro" significa sólido de 8 faces.)

Se triângulos se encontram em cada vértice, obtemos o icosaedro . Tem faces. ("Icosa" significa "vinte" em grego.)

Se triângulos se encontram em cada vértice, algo diferente acontece: simplesmente obtemos , em vez de um poliedro tridimensional.

E sete ou mais triângulos em todos os vértices também não produzem novos poliedros: não há espaço suficiente ao redor de um vértice, para caber em tantos triângulos.

Isso significa que encontramos sólidos platônicos compostos por triângulos. Vamos para o próximo polígono regular: quadrados.

Se quadrados se encontram em cada vértice, obtemos o cubo . Assim como os dados, ele tem faces. Às vezes, o cubo também é chamado de _hexaedro , depois da palavra grega "hexa" para "seis"._

Se quadrados se encontram em cada vértice, obtemos . E, como antes, cinco ou mais quadrados também não funcionam.

Em seguida, vamos tentar pentágonos regulares:

Se pentágonos se encontram em cada vértice, obtemos o dodecaedro . Tem faces. ("Dodeca" significa "doze" em grego.)

Como antes, quatro ou mais pentágonos porque não há espaço suficiente.

O próximo polígono regular a ser experimentado são hexágonos:

Se três hexágonos se encontram em cada vértice, obtemos imediatamente um . Como não há espaço para mais de três, parece que não há sólidos platônicos constituídos por hexágonos.

O mesmo acontece com todos os polígonos regulares com mais de seis lados. Eles não pavimentam, e certamente não temos polígonos tridimensionais.

Isso significa que existem apenas sólidos platônicos! Vamos dar uma olhada em todos eles juntos:

Tetraedro

Faces
vértices
arestas

Cubo

Faces
vértices
arestas

Octaedro

Faces
vértices
arestas

Dodecaedro

Faces
20 vértices
30 arestas

Icosaedro

Faces
12 vértices
30 arestas

Observe como o número de faces e vértices é para cubo e octaedro , assim como dodecaedro e icosaedro , enquanto o número de arestas . Esses pares de sólidos platônicos são chamados de sólidos duplos .

Podemos transformar um poliedro em seu dual, substituindo cada face por um vértice e cada vértice por uma face. Essas animações mostram como:

O tetraedro é duplo consigo mesmo. Como possui o mesmo número de faces e vértices, trocá-los não mudaria nada.

Platão acreditava que toda a matéria do Universo consiste em quatro elementos: Ar, Terra, Água e Fogo. Ele achava que todo elemento correspondia a um dos sólidos platônicos, enquanto o quinto representaria o universo como um todo. Hoje sabemos que existem mais de 100 elementos diferentes que consistem em átomos esféricos, e não em poliedros.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

Sólidos Arquimedeanos

Os sólidos platônicos são poliedros particularmente importantes, mas existem inúmeros outros.

Os sólidos arquimedianos , por exemplo, ainda precisam ser compostos de polígonos regulares , mas você pode usar vários tipos diferentes. Eles têm o nome de outro matemático grego, Arquimedes de Siracusa , e há 13 deles:

Tetraedro truncado
8 faces, 12 vértices, 18 arestas

Cuboctahedron
14 faces, 12 vértices, 24 arestas

Cubo truncado
14 faces, 24 vértices, 36 arestas

Octaedro truncado
14 faces, 24 vértices, 36 arestas

Rhombicuboctahedron
26 faces, 24 vértices, 48 arestas

Cuboctaedro truncado
26 faces, 48 vértices, 72 arestas

Snub Cube
38 faces, 24 vértices, 60 arestas

Icosidodecaedro
32 faces, 30 vértices, 60 arestas

Dodecaedro truncado
32 faces, 60 vértices, 90 arestas

Icosaedro truncado
32 faces, 60 vértices, 90 arestas

Rhombicosidodecahedron
62 faces, 60 vértices, 120 arestas

Icosidodecaedro truncado
62 faces, 120 vértices, 180 arestas

Dodecaedro de Snub
92 faces, 60 vértices, 150 arestas

Formulários

Platão estava errado ao acreditar que todos os elementos consistiam em sólidos platônicos. Mas os poliedros comuns têm muitas propriedades especiais que os fazem aparecer em outros lugares da natureza - e podemos copiar essas propriedades na ciência e na engenharia.

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

Muitos vírus , bactérias e outros pequenos organismos têm o formato de icosaedra . Os vírus, por exemplo, devem incluir seu material genético dentro de uma concha de muitas unidades de proteína idênticas. O icosaedro é a maneira mais eficiente de fazer isso, porque consiste em alguns elementos regulares, mas tem quase o formato de uma esfera.

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

Muitas moléculas têm a forma de poliedros regulares. O exemplo mais famoso é C60 que consiste em 60 átomos de carbono dispostos na forma de um icosaedro truncado .

Foi descoberto em 1985, quando os cientistas pesquisaram poeira interestelar. Eles o chamaram de “Buckyball” (ou Buckminsterfullerene), em homenagem ao arquiteto Buckminster Fuller , famoso por construir edifícios com aparência semelhante.

Fluorite octahedron

Pyrite cube

A maioria dos cristais tem seus átomos dispostos em uma grade regular composta por tetraedros , cubos ou octaedros . Quando eles quebram ou quebram, você pode ver essas formas em uma escala maior.

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

O tetraedro e a octaedra são incrivelmente rígidos e estáveis, o que os torna muito úteis na construção . As estruturas espaciais são estruturas poligonais que podem suportar telhados grandes e pontes pesadas.

Football

Polygonal role-playing dice

Os sólidos platônicos também são usados para criar dados . por causa de sua simetria, todos os lados têm probabilidade de aterrissar para cima - então os dados são justos.

O icosaedro truncado é provavelmente o poliedro mais famoso do mundo: é a forma do futebol.

Archie