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Polígonos e PoliedrosPolígonos

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Um polígono é uma forma fechada e plana que possui apenas lados retos. Os polígonos podem ter qualquer número de lados e ângulos, mas os lados não podem ser curvos. Quais das formas abaixo são polígonos?

polygon-1
polygon-2
polygon-3
polygon-4
polygon-5
polygon-5_1

Atribuímos nomes diferentes aos polígonos, dependendo de quantos lados eles têm:

number-3

Triangle
3 sides

number-4

Quadrilateral
4 sides

number-5

Pentagon
5 sides

number-6

Hexagon
6 sides

number-7

Heptagon
7 sides

number-8

Octagon
8 sides

Ângulos em polígonos

Todo polígono com n lados também possui n ângulos internos . Já sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre °, mas e os outros polígonos?

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

Parece que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre de ° - exatamente da soma dos ângulos em um triângulo. Isso não é coincidência: todo quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos.

triangles-4
triangles-1
triangles-2
triangles-3

O mesmo também funciona para polígonos maiores. Podemos dividir um pentágono em triângulos, para que a soma dos ângulos internos seja 3×180°= °. E podemos dividir um hexágono em triângulos, então a soma dos ângulos internos é 4×180°= °.

Um polígono com ${x} lados terão uma soma de ângulos internos de 180° × ${x-2} = ${(x-2)*180}°. De maneira mais geral, um polígono com n lados pode ser dividido em triângulos. Portanto,

Soma dos ângulos internos em um n -gon =n2×180° .

Polígonos convexos e côncavos

Dizemos que um polígono é côncavo se tiver uma seção que "aponte para dentro". Você pode imaginar que esta parte "desmoronou" . Polígonos que não são côncavos são chamados de convexos .

Há duas maneiras de identificar facilmente polígonos côncavos: eles têm pelo menos um ângulo interno maior que 180° . Eles também têm pelo menos uma diagonal que fica fora do polígono .

Em polígonos convexos, por outro lado, todos os ângulos internos são inferiores a ° e todas as diagonais estão do polígono.

Quais desses polígonos são côncavos?

concave-1
concave-2
concave-3
concave-4
concave-5
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Polígonos regulares

Dizemos que um polígono é regular se todos os seus lados tiverem o mesmo comprimento e todos os ângulos tiverem o mesmo tamanho. Quais dessas formas são polígonos regulares?

regular-1
regular-2
regular-3
regular-4
regular-5
regular-6

Os polígonos regulares podem ter vários tamanhos - mas todos os polígonos regulares com o mesmo número de lados !

Já sabemos a soma de todos os ângulos internos em polígonos. Para polígonos regulares, todos esses ângulos têm , para que possamos calcular o tamanho de um único ângulo interno:

angle = = 180°×x2x=180°360°x .

E se n=3 obtemos o tamanho dos ângulos internos de um triângulo equilátero - já sabemos que deve ser °. Em um polígono regular com ${x} lados, todo ângulo interno é de 180° - 360°${x} = ${round(180-360/x)}°.

Área de polígonos regulares

Aqui você pode ver um polígono regular com ${n} lados. Cada lado tem comprimento 1m . Vamos tentar calcular sua área!

Primeiro, podemos dividir o polígono em ${toWord(n)} congruente, triângulos .

Já conhecemos a desses triângulos, mas também precisamos da para poder calcular sua área. Em polígonos regulares, essa altura às vezes é chamada de apótema .

Observe que existe um triângulo retângulo formado pelo apótema e metade da base do triângulo isósceles. Isso significa que podemos usar trigonometria!

o ângulos base do triângulo isósceles (vamos chamá-los α) são tamanho dos ângulos internos do polígono:

α=12180°360°${n}=${round(90-180/n,2)}

Para encontrar o apótema, podemos usar a definição de :

tanα=oppositeadjacent=

apothem=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

Agora, a área do triângulo isósceles é

12base×height=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

O polígono consiste em ${toWord(n)} desses triângulos isósceles, todos com a mesma área. Portanto, a área total do polígono é

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2