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Tiếng ViệtCírculos e PiTangentes, acordes e arcos
Nas seções anteriores, você aprendeu os nomes dados a várias partes diferentes de um círculo - como centro, raio, diâmetro e circunferência. No entanto, existem muitos elementos geométricos relacionados a um círculo, dos quais precisamos resolver problemas mais complexos:
- Uma secante é uma linha que cruza um círculo em dois pontos.
- Um acorde é um segmento de linha cujos pontos finais estão na circunferência de um círculo.
- Uma tangente é uma linha que tocou um círculo exatamente em um ponto. Isso é chamado de ponto de tangência.
- Um arco é uma seção da circunferência de um círculo.
- Um setor é uma parte do interior de um círculo, limitado por um arco e dois raios.
- Finalmente, um segmento é uma parte do interior de um círculo, limitado por um arco e por um acorde.
Nesta seção, examinaremos a relação entre todos esses elementos e provaremos teoremas sobre suas propriedades. Não se preocupe em memorizar todas as definições por enquanto - você sempre pode usar o glossário.
Tangentes
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Cifras Simplificadas
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Arcos e Setores
A maioria dos cientistas da Grécia antiga concordou que a Terra é uma esfera. Havia muitas evidências: desde navios desaparecendo no horizonte no mar até o movimento circular das estrelas durante a noite.
Infelizmente, ninguém sabia exatamente o tamanho da Terra - até cerca de 200 aC, quando o matemático
Como você pode ver no diagrama, um arco faz parte da
O arco entre dois pontos A e B é geralmente escrito como
O menor dos dois arcos é chamado arco menor, e o maior é chamado arco arco principal. Se os pontos A e B são exatamente opostos um ao outro, ambos os arcos têm o mesmo comprimento e são
Para encontrar o comprimento de um arco ou a área de um setor, precisamos saber sobre o ângulo correspondente no centro do círculo: isso é chamado de ângulo central ângulo central.
Observe como o arco, o setor e o ângulo ocupam a mesma proporção de um círculo completo. Por exemplo, se o ângulo central for , ocupará
Isso significa que o comprimento do arco também é
Podemos expressar essa relação em uma equação:
Agora, podemos reorganizar essas equações para encontrar a variável em que estamos interessados. Por exemplo,
| comprimento do arco | = | |
| = |
| área do setor | = | |
| = |
onde r é o raio do círculo e c é o tamanho do ângulo central.
Se o ângulo central é medido em
| comprimento do arco | = | |
| = |
| área do setor | = | |
| = |
Observe como as equações se tornam muito mais simples e π é cancelada em todos os lugares. Isso ocorre porque, como você deve se lembrar, a definição de radianos [é basicamente o comprimento de um arco em um círculo com raio 1.
Agora vamos ver como podemos usar arcos e setores para calcular a circunferência da Terra.
No antigo Egito, a cidade de Swenet estava localizada ao longo do rio Nilo. Swenet era famoso por um poço com uma propriedade curiosa: havia um momento todos os anos em que a luz do sol chegava ao fundo do poço - ao meio-dia de 21 de junho, o dia do solstício de verão. Naquele momento preciso, o fundo do poço estava iluminado, mas não os lados, o que significa que o Sol estava em pé diretamente acima do poço.
Os egípcios antigos mediam longas distâncias contando o número de passos necessários para caminhar.
Algumas fontes dizem que o "poço de Eratóstenes" estava na ilha elefantina_ no rio Nilo.
O matemático
Eratóstenes notou que ao meio-dia do dia do solstício de verão, o obelisco estava lançando uma sombra - o que significa que o sol não estava diretamente acima dele. Ele deduziu que isso era por causa da curvatura da Terra e percebeu que poderia ser usado para calcular a circunferência do nosso planeta.
Aqui você pode ver o poço em Swenet e o obelisco em Alexandria. Os raios solares caem diretamente no poço, mas atingem o obelisco em ângulo e projetam uma sombra.
Eratóstenes mediu que o ângulo da sombra era de 7,2 °. É o mesmo que o ângulo central do arco de Alexandria para Swenet, porque são ângulos
Agora podemos usar a equação para o comprimento do arco que derivamos acima:
Se reorganizarmos isso, descobrimos que a circunferência da Terra é
Finalmente, sabemos que a circunferência de um círculo é
A medição de Eratóstenes foi um dos experimentos mais importantes da Antiguidade. Sua estimativa do tamanho da Terra foi surpreendentemente precisa, especialmente ao considerar que ele só tinha acesso a ferramentas de medição muito básicas.
Obviamente, pode ser difícil traduzir seus resultados originais em unidades modernas, como quilômetros. Na Grécia antiga, a distância foi medida em estádios (aproximadamente 160 m), mas não havia um padrão universal. Cada área tinha uma versão um pouco diferente e não sabemos qual Eratóstenes usou.
Nos séculos seguintes, os cientistas tentaram usar outros métodos para calcular o raio da Terra - às vezes com resultados muito diferentes e incorretos.
Foi uma dessas medidas incorretas que levou Cristóvão Colombo a navegar para o oeste a partir de Portugal. Ele assumiu que a Terra era muito menor do que realmente é, e esperava chegar à Índia. De fato, ele chegou a um continente diferente no meio: as Américas.
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