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Círculos e PiTangentes, acordes e arcos

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Nas seções anteriores, você aprendeu os nomes dados a várias partes diferentes de um círculo - como centro, raio, diâmetro e circunferência. No entanto, existem muitos elementos geométricos relacionados a um círculo, dos quais precisamos resolver problemas mais complexos:

  • Uma secante é uma linha que cruza um círculo em dois pontos.
  • Um acorde é um segmento de linha cujos pontos finais estão na circunferência de um círculo.
  • Uma tangente é uma linha que tocou um círculo exatamente em um ponto. Isso é chamado de ponto de tangência.
  • Um arco é uma seção da circunferência de um círculo.
  • Um setor é uma parte do interior de um círculo, limitado por um arco e dois raios.
  • Finalmente, um segmento é uma parte do interior de um círculo, limitado por um arco e por um acorde.

Nesta seção, examinaremos a relação entre todos esses elementos e provaremos teoremas sobre suas propriedades. Não se preocupe em memorizar todas as definições por enquanto - você sempre pode usar o glossário.

Tangentes

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Arcos e Setores

A maioria dos cientistas da Grécia antiga concordou que a Terra é uma esfera. Havia muitas evidências: desde navios desaparecendo no horizonte no mar até o movimento circular das estrelas durante a noite.

Infelizmente, ninguém sabia exatamente o tamanho da Terra - até cerca de 200 aC, quando o matemático Eratóstenes encontrou uma maneira engenhosa de medir o raio da Terra, usando geometria básica. Tudo o que precisamos é de um pouco mais de conhecimento sobre arcos e setores de um círculo.

Como você pode ver no diagrama, um arco faz parte da de um círculo e um setor faz parte do de um círculo.

O arco entre dois pontos A e B é geralmente escrito como AB. Essa definição é um pouco ambígua: existe um segundo arco que conecta A e B, mas faz o contrário.

O menor dos dois arcos é chamado arco menor, e o maior é chamado arco arco principal. Se os pontos A e B são exatamente opostos um ao outro, ambos os arcos têm o mesmo comprimento e são .

Para encontrar o comprimento de um arco ou a área de um setor, precisamos saber sobre o ângulo correspondente no centro do círculo: isso é chamado de ângulo central ângulo central.

Observe como o arco, o setor e o ângulo ocupam a mesma proporção de um círculo completo. Por exemplo, se o ângulo central for , ocupará de um círculo completo .

Isso significa que o comprimento do arco também é 14 de toda a circunferência do círculo e a área do o setor é 14 de toda a área do círculo.

Podemos expressar essa relação em uma equação:

arc lengthcircumference=circle area=central angle

Agora, podemos reorganizar essas equações para encontrar a variável em que estamos interessados. Por exemplo,

comprimento do arco=circumference×c360
=2πr×c360
área do setor=circle area×c360
=πr2×c360

onde r é o raio do círculo e c é o tamanho do ângulo central.

Se o ângulo central é medido em radianos em vez de graus, podemos usar as mesmas equações, mas precisamos substituir 360 ° por :

comprimento do arco=2πr×c2π
=r×c
área do setor=πr2×c2π
=12r2c

Observe como as equações se tornam muito mais simples e π é cancelada em todos os lugares. Isso ocorre porque, como você deve se lembrar, a definição de radianos [é basicamente o comprimento de um arco em um círculo com raio 1.

Agora vamos ver como podemos usar arcos e setores para calcular a circunferência da Terra.

No antigo Egito, a cidade de Swenet estava localizada ao longo do rio Nilo. Swenet era famoso por um poço com uma propriedade curiosa: havia um momento todos os anos em que a luz do sol chegava ao fundo do poço - ao meio-dia de 21 de junho, o dia do solstício de verão. Naquele momento preciso, o fundo do poço estava iluminado, mas não os lados, o que significa que o Sol estava em pé diretamente acima do poço.

Os egípcios antigos mediam longas distâncias contando o número de passos necessários para caminhar.

Algumas fontes dizem que o "poço de Eratóstenes" estava na ilha elefantina_ no rio Nilo.

O matemático Eratóstenes viveu em Alexandria, cerca de 800  km ao norte de Swenet, onde era diretor da Grande Biblioteca. No centro da cidade de Alexandria, havia um obelisco, um monumento alto e estreito, com um topo em forma de pirâmide.

Eratóstenes notou que ao meio-dia do dia do solstício de verão, o obelisco estava lançando uma sombra - o que significa que o sol não estava diretamente acima dele. Ele deduziu que isso era por causa da curvatura da Terra e percebeu que poderia ser usado para calcular a circunferência do nosso planeta.

Aqui você pode ver o poço em Swenet e o obelisco em Alexandria. Os raios solares caem diretamente no poço, mas atingem o obelisco em ângulo e projetam uma sombra.

Eratóstenes mediu que o ângulo da sombra era de 7,2 °. É o mesmo que o ângulo central do arco de Alexandria para Swenet, porque são ângulos .

Agora podemos usar a equação para o comprimento do arco que derivamos acima:

arc lengthcircumference=°360°

Se reorganizarmos isso, descobrimos que a circunferência da Terra é

circumference=360°7.2°×800 km=km

Finalmente, sabemos que a circunferência de um círculo é C=2πr, então o raio da Terra é

rEarth=40000km2π6400km.

A medição de Eratóstenes foi um dos experimentos mais importantes da Antiguidade. Sua estimativa do tamanho da Terra foi surpreendentemente precisa, especialmente ao considerar que ele só tinha acesso a ferramentas de medição muito básicas.

Obviamente, pode ser difícil traduzir seus resultados originais em unidades modernas, como quilômetros. Na Grécia antiga, a distância foi medida em estádios (aproximadamente 160 m), mas não havia um padrão universal. Cada área tinha uma versão um pouco diferente e não sabemos qual Eratóstenes usou.

Nos séculos seguintes, os cientistas tentaram usar outros métodos para calcular o raio da Terra - às vezes com resultados muito diferentes e incorretos.

Foi uma dessas medidas incorretas que levou Cristóvão Colombo a navegar para o oeste a partir de Portugal. Ele assumiu que a Terra era muito menor do que realmente é, e esperava chegar à Índia. De fato, ele chegou a um continente diferente no meio: as Américas.

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