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Sequências e padrõesNúmeros de Fibonacci

Tempo de leitura: ~85 min

Imagine que você recebeu um par de coelhos bebê, um macho e uma fêmea. São coelhos muito especiais, porque nunca morrem, e a fêmea dá à luz um novo par de coelhos exatamente uma vez por mês (sempre outro par de machos e fêmeas).

1
1
2
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5
8
In the first month, the rabbits are very small and can’t do much – but they grow very quickly.
After one month, the rabbits are grown up and can start mating…
… and after another month, they will give birth to their first pair of kids. You now have two pairs of rabbits.
In the next month, your pair of rabbits will give birth to another couple. Meanwhile, the first pair of kids have grown up. You now have three pairs in total.
In the fifth month, your original pair of rabbits will give birth to a new pair. At the same time, their first pair of kids is now old enough to give birth to grandchildren. You now have five pairs of rabbits.
In the sixth month, there are three more couples that give birth: the original one, as well as their first two pairs or kids.

No mês seguinte, você teria 13 pares de coelhos: os 8 do mês anterior, mais 5 novos conjuntos de bebês. Você pode detectar um padrão nesta sequência?

O número de coelhos em um determinado mês é . Em outras palavras, você deve adicionar os dois termos anteriores na sequência, para obter o próximo. A sequência começa com dois 1s e a fórmula recursiva é

xn = xn1 + xn2

Você pode calcular o número de coelhos depois de mais alguns meses?

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , …

Então, após 12 meses, você terá 144 pares de coelhos!

Essa sequência de números é chamada de Sequência de Fibonacci, nomeada em homenagem ao matemático italiano Leonardo Fibonacci.

Quando Fibonacci nasceu em 1175, a maioria das pessoas na Europa ainda usava o sistema de numeração romana para números (por exemplo, IVX ou MCMLIV). O pai de Fibonacci era comerciante e juntos eles viajaram para o norte da África e o Oriente Médio. Foi lá que Fibonacci aprendeu o sistema de algarismos arábicos.

Quando ele retornou à Itália, Fibonacci escreveu um livro chamado Liber Abaci (latim para "O Livro de Cálculos"), onde ele introduziu os novos algarismos arábicos pela primeira vez nos comerciantes europeus. Eles foram um sucesso imediato - e ainda os usamos hoje.

Portrait of Leonardo Fibonacci

Em uma das páginas de seu livro, ele também investigou os padrões de criação de coelhos - é por isso que os números de Fibonacci foram nomeados em homenagem a ele.

Pages from Fibonacci’s Liber Abaci

Certamente, os números de Fibonacci não são como os coelhos realmente povoam na vida real. Os coelhos não têm exatamente um filho masculino e uma fêmea todos os meses, e não consideramos os coelhos que morrem eventualmente.

Mas acontece que existem muitos outros lugares na natureza onde os números de Fibonacci aparecem: por exemplo, as espirais nas plantas. Você pode contar quantas espirais existem em cada direção?

Original
Clockwise
Countercw.

Esta pinha possui espirais no sentido horário e espirais no sentido anti-horário.

Original
Clockwise
Countercw.

Este girassol possui 34 espirais no sentido horário e 55 espirais no sentido anti-horário.

Nos dois casos, os números de espirais são números consecutivos de Fibonacci. O mesmo vale para muitas outras plantas: na próxima vez que sair, conte o número de pétalas em uma flor ou o número de folhas em um caule. Muitas vezes você descobrirá que são números de Fibonacci!

Claro, isso não é apenas uma coincidência. Há uma razão importante pela qual a natureza gosta da sequência de Fibonacci, sobre a qual você aprenderá mais tarde.

Male
Female

Os números de Fibonacci também aparecem nas populações de abelhas.

Em toda colônia de abelhas há uma única rainha que coloca muitos ovos. Se um ovo é fertilizado por uma abelha macho, ele choca em uma abelha fêmea. Se não for fertilizado, chocará-se em uma abelha macho (chamada drone).

Isso significa que as abelhas têm , enquanto as abelhas masculinas têm apenas .

Se desenharmos a árvore ancestral de uma abelha, o número de pais, avós, bisavós e gerações anteriores são sempre números de Fibonacci!

Ocasionalmente, jovens abelhas são alimentadas com alimentos especiais chamados “geléia real”. Nesse caso, eles se transformam em rainhas e voam para iniciar uma nova colméia.

A proporção áurea

Assim como os números quadrados triângulo e quadrados e outras sequências que vimos anteriormente, a sequência de Fibonacci pode ser visualizada usando um padrão geométrico:

1 1 2 3 5 8 13 21
We start with two small squares of size 1.
Next, we add a new square of size 2, to form a larger rectangle.
Next, we add a square of size 3, to form an even larger rectangle.
The next square has size 5. Can you see that we’re recreating the Fibonacci numbers?
If we continue adding squares, they will have size 8, 13, 21, and so on.
You might have noticed that, as the rectangles get larger, they seem to start “spiraling” outwards. We can even visualise this by drawing a perfect spiral that connects the corners of the squares.

A cada passo, os quadrados formam um retângulo maior. Sua largura e altura são sempre dois números consecutivos de Fibonacci. A proporção de aspecto <<<< do retângulo é a proporção de sua largura e altura:

golden-1

21 = 2

golden-2

32 = 1,5

golden-3

53 = 1,666…

golden-4

85 = 1,6

golden-5

= 1,625

golden-6

= 232}

Observe como, à medida que adicionamos mais e mais quadrados, a proporção parece se aproximar cada vez mais de um número específico em torno de 1,6. Esse número é chamado de Proporção áurea e geralmente representado pela letra grega φ (“phi”). Seu valor exato é

1+52=1.61803398875

Muitas pessoas acreditam que a proporção áurea é particularmente esteticamente agradável. É por isso que é frequentemente usado por artistas e arquitetos - como nesses dois exemplos:

Diz-se que o escultor grego Phidias usou a proporção áurea ao projetar o Parthenon em Atenas. A primeira letra de seu nome, φ, é o símbolo que usamos agora para a proporção áurea.

O Sacramento da Última Ceia, do artista espanhol Salvador Dalí, é uma das muitas pinturas na proporção áurea. No fundo, você também pode ver um grande dodecaedro.

Podemos aproximar a proporção áurea dividindo [[dois números consecutivos de Fibonacci.

No entanto, verifica-se que o valor exato de φ não pode ser escrito como uma fração simples: é um número irracional, assim como π e 2 e alguns outros números que você já viu antes.

Espirais de Fibonacci

A proporção áurea explica por que os números de Fibonacci aparecem na natureza, como o girassol e a pinha que você viu no início desta seção.

Ambas as plantas crescem para fora do centro (uma parte da planta chamada meristema <<<<). À medida que novas sementes, folhas ou pétalas são adicionadas, elas empurram as existentes ainda mais para fora.

Mova o controle deslizante à direita para visualizar como uma planta cresce. Observe como cada folha é adicionada em uma rotação diferente da anterior. O ângulo entre duas folhas consecutivas é sempre o mesmo.

É importante que as flores escolham um ângulo adequado: as folhas ou sementes devem ser aproximadamente igualmente espaçadas para que obtenham a maior quantidade de luz solar e nutrientes. No diagrama abaixo, você pode explorar a aparência de um girassol com ângulos diferentes entre suas sementes:

Se o ângulo for 0 °, todas as sementes crescerão em uma única linha longa longe do centro.
Se o ângulo é 12 de uma rotação completa (180 °), as sementes alternam entre dois “braços” separados que se afastam do centro.
Se a rotação for outra proporção fracionária de 360 °, por exemplo 25 ou 13 ou 38, o número de “armas” será o mesmo que o denominador dessa fração.
Infelizmente, “braços” são ruins, porque significam que as sementes não são distribuídas igualmente: todo o espaço entre os braços é desperdiçado. Mas se números racionais não estão funcionando, vamos tentar números irracionais!
Um exemplo de número irracional é π. Mas se o ângulo entre as sementes é 1π de 360 °, ainda parecemos ter braços: 22 deles. Isso ocorre porque a fração 227=3.1429 é uma aproximação muito boa para π. O que realmente precisamos é de um número irracional que não possa ser aproximado por uma fração simples.
Acontece que a proporção áurea de [é exatamente isso: o “mais irracional” de todos os números irracionais. Se o ângulo entre as sementes for 1φ de 360 °, elas parecem estar quase perfeitamente espaçadas. E este é precisamente o ângulo que as plantas ao redor do mundo estão usando.

Você deve se lembrar de cima, que as proporções de números consecutivos de Fibonacci se aproximam cada vez mais da proporção áurea - e é por isso que, se você contar o número de espirais em uma planta, geralmente encontrará um número de Fibonacci.

É importante lembrar que a natureza não sabe sobre os números de Fibonacci. A natureza também não consegue resolver equações para calcular a proporção áurea - mas, ao longo de milhões de anos, as plantas tiveram tempo de sobra para experimentar ângulos diferentes e descobrir o melhor.

Plantas e animais sempre querem crescer da maneira mais eficiente, e é por isso que a natureza está cheia de padrões matemáticos regulares.

Fibonachos

Até agora, usamos apenas a equação recursiva para números de Fibonacci. Na verdade, também existe uma equação explícita - mas é muito mais difícil encontrar:

Fn=151+52n152n

Também podemos tentar escolher diferentes pontos de partida para os números de Fibonacci. Por exemplo, se começamos com 2, 1, ... em vez de 1, 1, ... obtemos uma sequência chamada números de Lucas.

Acontece que, quaisquer que sejam os dois números iniciais escolhidos, as seqüências resultantes compartilham muitas propriedades. Por exemplo, as proporções de termos consecutivos sempre convergem para a proporção áurea.

${a}, ${b}, ${a+b}, ${a+2×b}, ${2×a+3×b}, ${3×a+5×b}, ${5×a+8×b}, ${8×a+13×b}, …

Existem muitos outros quebra-cabeças, padrões e aplicativos relacionados aos números de Fibonacci. Aqui estão alguns exemplos, que você pode experimentar:

Problem solving

1. Divisibilidade de Fibonacci

(a) Quais números de Fibonacci são pares? Existe um padrão para onde eles estão posicionados ao longo da sequência? Você pode explicar o porquê?

(b) Quais números de Fibonacci são divisíveis por 3 (ou divisíveis por 4)? O que você percebe?


2. Soma de Fibonacci

O que acontece se você somar três números consecutivos de Fibonacci? Você pode explicar o porquê?


3. Escadas de Fibonacci

Ao subir as escadas, posso dar um único passo ou pular dois degraus por vez. Isso significa que existem muitas possibilidades diferentes de como eu poderia subir uma escada. Por exemplo, se houver 5 etapas, tenho 8 opções diferentes:

Quantas opções existem para escadas com 6, 7 ou 8 degraus? Você consegue detectar um padrão? E como isso está relacionado aos números de Fibonacci?

© FoxTrot, by Bill Amend

Sequências Especiais

Além das sequências aritméticas](gloss:arithmetic-sequence) e geométricas, números de Fibonacci e números figurados, existem inúmeras sequências interessantes que não seguem uma sequência semelhante. , padrão regular.

Números Primos

Um exemplo que você já viu antes são os Números Primos. Dizemos que um número é primo se não tiver fatores .

Aqui estão os primeiros números primos:

2, 3, 5, 7, 11, , , , …

Infelizmente, os números primos não seguem um padrão simples ou uma fórmula recursiva. Às vezes, eles aparecem diretamente próximos um do outro (estes são chamados de primos gêmeos), e às vezes há enormes lacunas entre eles. Eles parecem ser distribuídos quase aleatoriamente!

Os números primos também não têm uma representação geométrica simples como triângulo ou números quadrados, mas com um pouco de trabalho, podemos revelar padrões interessantes:

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Se cruzarmos todos os múltiplos de números inteiros pequenos, os números restantes deverão ser primos. Este método é chamado de Peneira de Eratóstenes.

Se desenharmos um gráfico que aumenta em 1 sempre que houver um número primo, obteremos uma função "escalonada" com propriedades fascinantes.

Você pode aprender mais sobre essas e outras propriedades dos números primos em nosso curso sobre Divisibilidade e primos. Eles são alguns dos conceitos mais importantes e misteriosos da matemática!

Números perfeitos

Para determinar se um número é primo, precisamos encontrar todos os seus fatores. Normalmente, multiplicamos esses fatores para recuperar o número original, mas vamos ver o que acontece se somarmos todos os fatores de um número (excluindo o número em si):

NumberFactorsSum of Factors
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Vamos comparar esses números com a soma dos fatores:

Para a maioria dos números, a soma de seus fatores é . Esses números são chamados números deficientes.

Para alguns números, a soma de seus fatores é maior que ela mesma. Esses números são chamados números abundantes.

Apenas um número na lista acima tem uma soma dos fatores que são iguais a para si: . Isso é chamado de número perfeito.

O próximo número perfeito é 28, porque se somarmos todos os seus fatores, obteremos 1+2+4+7+14=28. Depois disso, números perfeitos se tornam muito mais raros:

6, 28, 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128, …

Observe que todos esses números são . Acontece que eles também são todos números de triângulo!

Números perfeitos foram estudados pela primeira vez por matemáticos gregos antigos como Euclides, Pitágoras e Nicômaco, mais de 2000 anos atrás. Eles calcularam os primeiros números perfeitos e se perguntaram se poderia haver algum ímpar. Hoje, os matemáticos usaram computadores para verificar os primeiros 10.100 números (isto é 1 seguido de 1.500 zeros), mas sem sucesso: todos os números perfeitos encontrados foram iguais. Até hoje, ainda não se sabe se existem números perfeitos ímpares, tornando-o o problema não resolvido mais antigo de em toda a matemática!

Euclides de Alexandria

A sequência da pedra de granizo

A maioria das sequências que vimos até agora tinha uma única regra ou padrão. Mas não há razão para não combinarmos vários diferentes - por exemplo, uma fórmula recursiva como esta:

If xn is even:xn+1=xn/2
If xn is odd:xn+1=3xn+1

Vamos começar com x1=5 e ver o que acontece:

5, ×3 +1, ÷2, ÷2, ÷2, ÷2, ×3 +1, ÷2, ÷2, …

Parece que, após alguns termos, a sequência atinge um “ciclo ”: 4, 2, 1 continuará repetindo uma e outra vez, para sempre. Certamente, poderíamos ter escolhido um ponto de partida diferente, como ${n}. A sequência ficaria assim:

, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

Parece que a duração da sequência varia muito, mas sempre termina em um ciclo de 4, 2, 1 - independentemente do primeiro número que escolhemos. Podemos até visualizar os termos da sequência em um gráfico:

Start value:${n}

Observe como alguns pontos de partida terminam muito rapidamente, enquanto outros (como 31 ou 47) executam mais de uma centena de passos antes de atingirem os 4, 2, 1 ciclo.

Todas as seqüências que seguem essa fórmula recursiva são chamadas Sequências de granizo, porque parecem mover-se aleatoriamente para cima e para baixo antes de atingir o ciclo 4, 2, 1 - exatamente como pedras de granizo que se movem para cima e para baixo. em uma nuvem antes de cair na Terra.

Em 1937, o matemático Lothar Collatz propôs que _todas as seqüências de granizo acabam em um ciclo 4, 2, 1 - qualquer valor inicial que você escolher. Você já verificou alguns pontos de partida acima e os computadores realmente tentaram todos os números até 1020 - 100 bilhões de bilhões ou um 1 seguidos de vinte zeros.

No entanto, existem infinitos muitos números inteiros. É impossível verificar cada um deles, e ninguém foi capaz de encontrar uma prova <<<< que funcione para todos.

Assim como a busca por números perfeitos ímpares, esse ainda é um problema em aberto na matemática. É incrível que esses padrões simples de sequências possam levar a perguntas que confundiram até os melhores matemáticos do mundo por séculos!

A sequência de olhar e dizer

Aqui está mais uma sequência que é um pouco diferente de todas as que você viu acima. Você consegue encontrar o padrão?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …

Essa sequência é chamada de sequência Look-and-Say, e o padrão é exatamente o que o nome diz: você começa com 1, e cada termo a seguir é o que você obtém se "lê em voz alta" o o anterior. Aqui está um exemplo:

Agora você pode encontrar os próximos termos?

…, 312211, , , …

Essa sequência é frequentemente usada como um quebra-cabeça para enganar os matemáticos - porque o padrão parece ser completamente não-matemático. No entanto, como se vê, a sequência tem muitas propriedades interessantes. Por exemplo, todo termo termina em e nenhum dígito maior que é usado.

O matemático britânico John Conway descobriu que, não importa o número escolhido como valor inicial, a sequência acabará se dividindo em “seções” distintas que não mais interagem entre si. Conway chamou isso de Teorema Cosmológico de e nomeou as diferentes seções usando os elementos químicos _Hidrogênio, Hélio, Lítio,…, até Plutônio.

O Teste da Sequência

Você já viu inúmeras sequências matemáticas diferentes - algumas baseadas em formas geométricas, algumas que seguem fórmulas específicas e outras que parecem se comportar quase aleatoriamente.

Neste questionário, você pode combinar todo o seu conhecimento sobre sequências. Há apenas um objetivo: encontre o padrão e calcule os próximos dois termos!

Find the next number

7, 11, 15, 19, 23, 27, , , … Padrão: Sempre +4

11, 14, 18, 23, 29, 36, , , … Padrão: +3, +4, +5, +6, …

3, 7, 6, 10, 9, 13, , , … Padrão: +4, –1, +4, –1, …

2, 4, 6, 12, 14, 28, , , … Padrão: ×2, +2, ×2, +2, …

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , … Padrão: Fibonacci Numbers

27, 28, 30, 15, 16, 18, , , … Padrão: +1, +2, ÷2, +1, +2, ÷2, …

1, 9, 25, 49, 81, 121, , , … Padrão: Odd square numbers