Sequências e padrõesNúmeros de Fibonacci

Imagine que você recebeu um par de coelhos bebê, um macho e uma fêmea. São coelhos muito especiais, porque nunca morrem, e a fêmea dá à luz um novo par de coelhos exatamente uma vez por mês (sempre outro par de machos e fêmeas).

1

1

2

3

5

8

In the first month, the rabbits are very small and can’t do much – but they grow very quickly.

After one month, the rabbits are grown up and can start mating…

… and after another month, they will give birth to their first pair of kids. You now have two pairs of rabbits.

In the next month, your pair of rabbits will give birth to another couple. Meanwhile, the first pair of kids have grown up. You now have three pairs in total.

In the fifth month, your original pair of rabbits will give birth to a new pair. At the same time, their first pair of kids is now old enough to give birth to grandchildren. You now have five pairs of rabbits.

In the sixth month, there are three more couples that give birth: the original one, as well as their first two pairs or kids.

No mês seguinte, você teria 13 pares de coelhos: os 8 do mês anterior, mais 5 novos conjuntos de bebês. Você pode detectar um padrão nesta sequência? Continuar

O número de coelhos em um determinado mês é a soma dos dois números anteriorestwice the previous number. Em outras palavras, você deve adicionar os dois termos anteriores na sequência, para obter o próximo. A sequência começa com dois 1s e a fórmula recursiva é

xn = xn−1 + xn−2

Você pode calcular o número de coelhos depois de mais alguns meses?

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , …

Então, após 12 meses, você terá 144 pares de coelhos!

Essa sequência de números é chamada de Sequência de Fibonacci, nomeada em homenagem ao matemático italiano Leonardo Fibonacci.

Em uma das páginas de seu livro, ele também investigou os padrões de criação de coelhos - é por isso que os números de Fibonacci foram nomeados em homenagem a ele.

Certamente, os números de Fibonacci não são como os coelhos realmente povoam na vida real. Os coelhos não têm exatamente um filho masculino e uma fêmea todos os meses, e não consideramos os coelhos que morrem eventualmente.

Mas acontece que existem muitos outros lugares na natureza onde os números de Fibonacci aparecem: por exemplo, as espirais nas plantas. Você pode contar quantas espirais existem em cada direção?

Nos dois casos, os números de espirais são números consecutivos de Fibonacci. O mesmo vale para muitas outras plantas: na próxima vez que sair, conte o número de pétalas em uma flor ou o número de folhas em um caule. Muitas vezes você descobrirá que são números de Fibonacci!

Claro, isso não é apenas uma coincidência. Há uma razão importante pela qual a natureza gosta da sequência de Fibonacci, sobre a qual você aprenderá mais tarde.

A proporção áurea

Assim como os números quadrados triângulo e quadrados e outras sequências que vimos anteriormente, a sequência de Fibonacci pode ser visualizada usando um padrão geométrico:

A cada passo, os quadrados formam um retângulo maior. Sua largura e altura são sempre dois números consecutivos de Fibonacci. A proporção de aspecto do retângulo é a proporção de sua largura e altura:

Observe como, à medida que adicionamos mais e mais quadrados, a proporção parece se aproximar cada vez mais de um número específico em torno de 1,6. Esse número é chamado de Proporção áurea e geralmente representado pela letra grega φ (“phi”). Seu valor exato é

1+52=1.61803398875…

Muitas pessoas acreditam que a proporção áurea é particularmente esteticamente agradável. É por isso que é frequentemente usado por artistas e arquitetos - como nesses dois exemplos:

Diz-se que o escultor grego Phidias usou a proporção áurea ao projetar o Parthenon em Atenas. A primeira letra de seu nome, φ, é o símbolo que usamos agora para a proporção áurea.

O Sacramento da Última Ceia, do artista espanhol Salvador Dalí, é uma das muitas pinturas na proporção áurea. No fundo, você também pode ver um grande dodecaedro.

Podemos aproximar a proporção áurea dividindo [[dois números consecutivos de Fibonacci.

No entanto, verifica-se que o valor exato de φ não pode ser escrito como uma fração simples: é um número irracional, assim como π e 2 e alguns outros números que você já viu antes.

Espirais de Fibonacci

É importante que as flores escolham um ângulo adequado: as folhas ou sementes devem ser aproximadamente igualmente espaçadas para que obtenham a maior quantidade de luz solar e nutrientes. No diagrama abaixo, você pode explorar a aparência de um girassol com ângulos diferentes entre suas sementes:

Fibonachos

Até agora, usamos apenas a equação recursiva para números de Fibonacci. Na verdade, também existe uma equação explícita - mas é muito mais difícil encontrar:

Fn=151+52n−1−52n

Também podemos tentar escolher diferentes pontos de partida para os números de Fibonacci. Por exemplo, se começamos com 2, 1, ... em vez de 1, 1, ... obtemos uma sequência chamada números de Lucas.

Acontece que, quaisquer que sejam os dois números iniciais escolhidos, as seqüências resultantes compartilham muitas propriedades. Por exemplo, as proporções de termos consecutivos sempre convergem para a proporção áurea.

${a}, ${b}, ${a+b}, ${a+2×b}, ${2×a+3×b}, ${3×a+5×b}, ${5×a+8×b}, ${8×a+13×b}, …

Existem muitos outros quebra-cabeças, padrões e aplicativos relacionados aos números de Fibonacci. Aqui estão alguns exemplos, que você pode experimentar: