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Sequências e padrões
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Introdução
Sequências Aritméticas e Geométricas
Números figurativos
Sequências como funções
Números de Fibonacci
Sequências Especiais
Triângulo de Pascal
limites e convergência

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Glossário

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Sequências e padrõesSequências Especiais

Tempo de leitura: ~45 min

Além das sequências aritméticas](gloss:arithmetic-sequence) e geométricas, números de Fibonacci e números figurados, existem inúmeras sequências interessantes que não seguem uma sequência semelhante. , padrão regular.

Números Primos

Um exemplo que você já viu antes são os Números Primos. Dizemos que um número é primo se não tiver fatores .

Aqui estão os primeiros números primos:

2, 3, 5, 7, 11, , , , …

Infelizmente, os números primos não seguem um padrão simples ou uma fórmula recursiva. Às vezes, eles aparecem diretamente próximos um do outro (estes são chamados de primos gêmeos), e às vezes há enormes lacunas entre eles. Eles parecem ser distribuídos quase aleatoriamente!

Os números primos também não têm uma representação geométrica simples como triângulo ou números quadrados, mas com um pouco de trabalho, podemos revelar padrões interessantes:

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100

Se cruzarmos todos os múltiplos de números inteiros pequenos, os números restantes deverão ser primos. Este método é chamado de Peneira de Eratóstenes.

Se desenharmos um gráfico que aumenta em 1 sempre que houver um número primo, obteremos uma função "escalonada" com propriedades fascinantes.

Você pode aprender mais sobre essas e outras propriedades dos números primos em nosso curso sobre Divisibilidade e primos. Eles são alguns dos conceitos mais importantes e misteriosos da matemática!

Números perfeitos

Para determinar se um número é primo, precisamos encontrar todos os seus fatores. Normalmente, multiplicamos esses fatores para recuperar o número original, mas vamos ver o que acontece se somarmos todos os fatores de um número (excluindo o número em si):

NumberFactorsSum of Factors
5
1
1
6
1
2
3
6
7
1
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1
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1
2
3
6
9

Vamos comparar esses números com a soma dos fatores:

Para a maioria dos números, a soma de seus fatores é . Esses números são chamados números deficientes.

Para alguns números, a soma de seus fatores é maior que ela mesma. Esses números são chamados números abundantes.

Apenas um número na lista acima tem uma soma dos fatores que são iguais a para si: . Isso é chamado de número perfeito.

O próximo número perfeito é 28, porque se somarmos todos os seus fatores, obteremos 1+2+4+7+14=28. Depois disso, números perfeitos se tornam muito mais raros:

6, 28, 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128, …

Observe que todos esses números são . Acontece que eles também são todos números de triângulo!

Números perfeitos foram estudados pela primeira vez por matemáticos gregos antigos como Euclides, Pitágoras e Nicômaco, mais de 2000 anos atrás. Eles calcularam os primeiros números perfeitos e se perguntaram se poderia haver algum ímpar. Hoje, os matemáticos usaram computadores para verificar os primeiros 10.100 números (isto é 1 seguido de 1.500 zeros), mas sem sucesso: todos os números perfeitos encontrados foram iguais. Até hoje, ainda não se sabe se existem números perfeitos ímpares, tornando-o o problema não resolvido mais antigo de em toda a matemática!

Euclides de Alexandria

A sequência da pedra de granizo

A maioria das sequências que vimos até agora tinha uma única regra ou padrão. Mas não há razão para não combinarmos vários diferentes - por exemplo, uma fórmula recursiva como esta:

If xn is even:xn+1=xn/2
If xn is odd:xn+1=3xn+1

Vamos começar com x1=5 e ver o que acontece:

5, ×3 +1, ÷2, ÷2, ÷2, ÷2, ×3 +1, ÷2, ÷2, …

Parece que, após alguns termos, a sequência atinge um “ciclo ”: 4, 2, 1 continuará repetindo uma e outra vez, para sempre. Certamente, poderíamos ter escolhido um ponto de partida diferente, como ${n}. A sequência ficaria assim:

, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

Parece que a duração da sequência varia muito, mas sempre termina em um ciclo de 4, 2, 1 - independentemente do primeiro número que escolhemos. Podemos até visualizar os termos da sequência em um gráfico:

Start value:${n}

Observe como alguns pontos de partida terminam muito rapidamente, enquanto outros (como ou ) executam mais de uma centena de passos antes de atingirem os 4, 2, 1 ciclo.

Todas as seqüências que seguem essa fórmula recursiva são chamadas Sequências de granizo, porque parecem mover-se aleatoriamente para cima e para baixo antes de atingir o ciclo 4, 2, 1 - exatamente como pedras de granizo que se movem para cima e para baixo. em uma nuvem antes de cair na Terra.

Em 1937, o matemático Lothar Collatz propôs que _todas as seqüências de granizo acabam em um ciclo 4, 2, 1 - qualquer valor inicial que você escolher. Você já verificou alguns pontos de partida acima e os computadores realmente tentaram todos os números até 1020 - 100 bilhões de bilhões ou um 1 seguidos de vinte zeros.

No entanto, existem infinitos muitos números inteiros. É impossível verificar cada um deles, e ninguém foi capaz de encontrar uma prova que funcione para todos.

Assim como a busca por números perfeitos ímpares, esse ainda é um problema em aberto na matemática. É incrível que esses padrões simples de sequências possam levar a perguntas que confundiram até os melhores matemáticos do mundo por séculos!

A sequência de olhar e dizer

Aqui está mais uma sequência que é um pouco diferente de todas as que você viu acima. Você consegue encontrar o padrão?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …

Essa sequência é chamada de sequência Look-and-Say, e o padrão é exatamente o que o nome diz: você começa com 1, e cada termo a seguir é o que você obtém se "lê em voz alta" o o anterior. Aqui está um exemplo:

Agora você pode encontrar os próximos termos?

…, 312211, , , …

Essa sequência é frequentemente usada como um quebra-cabeça para enganar os matemáticos - porque o padrão parece ser completamente não-matemático. No entanto, como se vê, a sequência tem muitas propriedades interessantes. Por exemplo, todo termo termina em e nenhum dígito maior que é usado.

O matemático britânico John Conway descobriu que, não importa o número escolhido como valor inicial, a sequência acabará se dividindo em “seções” distintas que não mais interagem entre si. Conway chamou isso de Teorema Cosmológico de _e nomeou as diferentes seções usando os elementos químicos Hidrogênio, Hélio, Lítio,…, até Plutônio.

O Teste da Sequência

Você já viu inúmeras sequências matemáticas diferentes - algumas baseadas em formas geométricas, algumas que seguem fórmulas específicas e outras que parecem se comportar quase aleatoriamente.

Neste questionário, você pode combinar todo o seu conhecimento sobre sequências. Há apenas um objetivo: encontre o padrão e calcule os próximos dois termos!

Find the next number

7, 11, 15, 19, 23, 27, , , … Padrão: Sempre +4

11, 14, 18, 23, 29, 36, , , … Padrão: +3, +4, +5, +6, …

3, 7, 6, 10, 9, 13, , , … Padrão: +4, –1, +4, –1, …

2, 4, 6, 12, 14, 28, , , … Padrão: ×2, +2, ×2, +2, …

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , … Padrão: Fibonacci Numbers

27, 28, 30, 15, 16, 18, , , … Padrão: +1, +2, ÷2, +1, +2, ÷2, …

1, 9, 25, 49, 81, 121, , , … Padrão: Odd square numbers

Archie