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Sequências e padrõesTriângulo de Pascal

Tempo de leitura: ~25 min

Abaixo, você pode ver uma pirâmide numérica criada usando um padrão simples: começa com um único "1" na parte superior e cada célula a seguir é a soma das duas células diretamente acima. Passe o mouse sobre algumas das células para ver como elas são calculadas e preencha as que estão faltando:

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Este diagrama mostra apenas as doze primeiras linhas, mas podemos continuar para sempre, adicionando novas linhas na parte inferior. Observe que o triângulo é , o que pode ajudá-lo a calcular algumas das células.

O triângulo é chamado triângulo de Pascal, em homenagem ao matemático francês Blaise Pascal. Ele foi um dos primeiros matemáticos europeus a investigar seus padrões e propriedades, mas era conhecido por outras civilizações muitos séculos antes:

Em 450 aC, o matemático indiano Pingala chamou o triângulo de “Escadaria do Monte Meru”, em homenagem a uma montanha sagrada hindu.

No Irã, era conhecido como o “triângulo Khayyam”__ (مثلث خیام), nomeado em homenagem ao poeta e matemático persa Omar Khayyám.

Na China, o matemático Jia Xian também descobriu o triângulo. Foi nomeado após seu sucessor, "Triângulo de Yang Hui" (杨辉 三角).

O triângulo de Pascal pode ser criado usando um padrão muito simples, mas é preenchido com padrões e propriedades surpreendentes. É por isso que fascina matemáticos em todo o mundo há centenas de anos.

Encontrando Sequências

Nas seções anteriores, você viu inúmeras sequências matemáticas diferentes. Acontece que muitos deles também podem ser encontrados no triângulo de Pascal:

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Os números na primeira diagonal de cada lado são todos .

Os números na segunda diagonal de cada lado são os .

Os números na terceira diagonal de cada lado são os números do triângulo .

Os números na quarta diagonal são os .

Se você somar todos os números em uma linha, suas somas formarão outra sequência: os poderes de 1977 de dois|perfect numbers|prime numbers]].

Em todas as linhas que possuem um número primo em sua segunda célula, todos os números a seguir são desse primo.

O diagrama acima destaca as diagonais "rasas" em cores diferentes. Se somarmos os números em todas as diagonais, obtemos os .

Obviamente, cada um desses padrões tem uma razão matemática que explica por que aparece. Talvez você possa encontrar alguns deles!

Outra pergunta que você pode fazer é com que frequência um número aparece no triângulo de Pascal. Claramente, existem infinitos 1s, um 2 e todos os outros números aparecem , na segunda diagonal de ambos os lados.

Alguns números no meio do triângulo também aparecem três ou quatro vezes. Existem até algumas que aparecem seis vezes: você pode ver 120 e 3003 quatro vezes no triângulo acima, e elas aparecerão mais duas vezes cada uma nas linhas 120 e 3003 .

Como 3003 é um número de triângulo, ele realmente aparece mais duas vezes nas diagonais do terceiro do triângulo - o que representa oito ocorrências no total.

Não se sabe se existem outros números que aparecem oito vezes no triângulo ou se existem números que aparecem mais de oito vezes. O matemático americano David Singmaster levantou a hipótese de que há um limite fixo de quantas vezes os números podem aparecer no triângulo de Pascal - mas isso ainda não foi comprovado.

Divisibilidade

Alguns padrões no triângulo de Pascal não são tão fáceis de detectar. No diagrama abaixo, destaque todas as células que são pares:

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Parece que o número par no triângulo de Pascal forma outro triângulo menor .

A coloração manual de cada célula leva muito tempo, mas aqui você pode ver o que acontece se você fizer isso por muitas outras linhas. E as células divisíveis por outros números?

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293930
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1330
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245157
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1352078
1352078
1144066
817190
490314
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42504
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2496144
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Uau! As células coloridas sempre aparecem em (exceto algumas células únicas, que podem ser vistas como triângulos do tamanho 1).

Se continuarmos o padrão de células divisíveis por 2, obtemos um que é muito semelhante ao triângulo de Sierpinski à direita. Formas como essa, que consistem em um padrão simples que parece continuar para sempre enquanto fica cada vez menor, são chamadas de Fractals. Você aprenderá mais sobre eles no futuro…

Sierpinski Triangle

The Sierpinski Triangle

Coeficientes binomiais

Há mais uma propriedade importante do triângulo de Pascal sobre a qual precisamos falar. Para entendê-lo, tentaremos resolver o mesmo problema com dois métodos completamente diferentes e depois veremos como eles estão relacionados.

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