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SvenskaSequências e padrõesTriângulo de Pascal
Abaixo, você pode ver uma pirâmide numérica criada usando um padrão simples: começa com um único "1" na parte superior e cada célula a seguir é a soma das duas células diretamente acima. Passe o mouse sobre algumas das células para ver como elas são calculadas e preencha as que estão faltando:
Este diagrama mostra apenas as doze primeiras linhas, mas podemos continuar para sempre, adicionando novas linhas na parte inferior. Observe que o triângulo é
O triângulo é chamado
Em 450 aC, o matemático indiano
No Irã, era conhecido como o “triângulo Khayyam”__ (مثلث خیام), nomeado em homenagem ao poeta e matemático persa
Na China, o matemático Jia Xian também descobriu o triângulo. Foi nomeado após seu sucessor, "Triângulo de Yang Hui" (杨辉 三角).
O triângulo de Pascal pode ser criado usando um padrão muito simples, mas é preenchido com padrões e propriedades surpreendentes. É por isso que fascina matemáticos em todo o mundo há centenas de anos.
Encontrando Sequências
Nas seções anteriores, você viu inúmeras sequências matemáticas diferentes. Acontece que muitos deles também podem ser encontrados no triângulo de Pascal:
Os números na primeira diagonal de cada lado são todos
Os números na segunda diagonal de cada lado são os
Os números na terceira diagonal de cada lado são os números do
Os números na quarta diagonal são os
Se você somar todos os números em uma linha, suas somas formarão outra sequência: os poderes de 1977 de dois|perfect numbers|prime numbers]].
Em todas as linhas que possuem um número primo em sua segunda célula, todos os números a seguir são
O diagrama acima destaca as diagonais "rasas" em cores diferentes. Se somarmos os números em todas as diagonais, obtemos os
Obviamente, cada um desses padrões tem uma razão matemática que explica por que aparece. Talvez você possa encontrar alguns deles!
Outra pergunta que você pode fazer é com que frequência um número aparece no triângulo de Pascal. Claramente, existem infinitos 1s, um 2 e todos os outros números aparecem
Alguns números no meio do triângulo também aparecem três ou quatro vezes. Existem até algumas que aparecem seis vezes: você pode ver
Como 3003 é um número de triângulo, ele realmente aparece mais duas vezes nas diagonais do terceiro do triângulo - o que representa oito ocorrências no total.
Não se sabe se existem outros números que aparecem oito vezes no triângulo ou se existem números que aparecem mais de oito vezes. O matemático americano
Divisibilidade
Alguns padrões no triângulo de Pascal não são tão fáceis de detectar. No diagrama abaixo, destaque todas as células que são pares:
Parece que o número par no triângulo de Pascal forma outro triângulo
A coloração manual de cada célula leva muito tempo, mas aqui você pode ver o que acontece se você fizer isso por muitas outras linhas. E as células divisíveis por outros números?
Uau! As células coloridas sempre aparecem em
Se continuarmos o padrão de células divisíveis por 2, obtemos um que é muito semelhante ao triângulo de Sierpinski à direita. Formas como essa, que consistem em um padrão simples que parece continuar para sempre enquanto fica cada vez menor, são chamadas de
The Sierpinski Triangle
Coeficientes binomiais
Há mais uma propriedade importante do triângulo de Pascal sobre a qual precisamos falar. Para entendê-lo, tentaremos resolver o mesmo problema com dois métodos completamente diferentes e depois veremos como eles estão relacionados.
EM BREVE