Sequências e padrõesNúmeros figurativos

O nome das sequências geométricas é bastante confuso, porque elas não têm nada a ver com geometria. De fato, o nome foi desenvolvido há centenas de anos atrás, quando os matemáticos pensavam na multiplicação e raízes quadradas de uma maneira muito mais geométrica.

No entanto, existem muitas outras seqüências que são baseadas em certas formas geométricas - algumas das quais você já viu na introdução do. Essas seqüências são freqüentemente chamadas de números figurados, e nesta seção, veremos mais de perto algumas delas.

Números Triângulos

Os números do triângulo são gerados criando triângulos de tamanho progressivamente maior:

Você já viu a fórmula recursiva para números de triângulo: xn= xn−1+nn2−12×xn−1−1.

Não é por acaso que sempre existem 10 pinos no boliche ou 15 bolas no bilhar: ambos são números de triângulo!

Infelizmente, a fórmula recursiva não é muito útil se quisermos encontrar o número do triângulo 100 ou 5000, sem primeiro calcular todos os números anteriores. Mas, como fizemos com seqüências aritméticas e geométricas, podemos tentar encontrar uma fórmula explícita para os números dos triângulos.

EM BREVE: Prova animada para a fórmula do número do triângulo

Os números dos triângulos parecem aparecer em toda parte na matemática e você os verá novamente ao longo deste curso. Um fato particularmente interessante é que qualquer número inteiro pode ser escrito como a soma de no máximo três números de triângulo:

O fato de isso funcionar para todos os números inteiros foi comprovado pela primeira vez em 1796 pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss - aos 19 anos!

Números Quadrados e Poligonais

Outra sequência baseada em formas geométricas são os números quadrados:

1, 4*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+3*, 9*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+5*, 16*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+7*, +9, +11, +13, +15, …

Você pode calcular que os números são essa sequência ao quadrado de todo número inteiro (12, 22, 32,…), mas acontece que existe outro padrão: as diferenças entre os números quadrados consecutivos são as seguintes: números ímparestriangle numbersintegers em ordem crescente!

Além disso, todo número quadrado também é a soma de dois números consecutivos de triângulo. Por exemplo, ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2}. Você pode ver como podemos dividir cada quadrado ao longo de sua diagonal em dois triângulos?

Números tetraédricos e cúbicos

Obviamente, também não precisamos nos limitar a formas e padrões bidimensionais. Poderíamos empilhar esferas para formar pequenas pirâmides, assim como você empilharia laranjas em um supermercado:

Os matemáticos costumam chamar essas pirâmides de tetraedra e a sequência resultante números tetraédricos.

EM BREVE: Mais sobre números tetraédricos, números cúbicos e os 12 dias do Natal.