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Sequências e padrõesNúmeros figurativos

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O nome das sequências geométricas é bastante confuso, porque elas não têm nada a ver com geometria. De fato, o nome foi desenvolvido há centenas de anos atrás, quando os matemáticos pensavam na multiplicação e raízes quadradas de uma maneira muito mais geométrica.

No entanto, existem muitas outras seqüências que são baseadas em certas formas geométricas - algumas das quais você já viu na introdução do. Essas seqüências são freqüentemente chamadas de números figurados, e nesta seção, veremos mais de perto algumas delas.

Números Triângulos

Os números do triângulo são gerados criando triângulos de tamanho progressivamente maior:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

10

triangle-4

15

triangle-5

21

triangle-6

Você já viu a fórmula recursiva para números de triângulo: xn= .

Não é por acaso que sempre existem 10 pinos no boliche ou 15 bolas no bilhar: ambos são números de triângulo!

Infelizmente, a fórmula recursiva não é muito útil se quisermos encontrar o número do triângulo 100 ou 5000, sem primeiro calcular todos os números anteriores. Mas, como fizemos com seqüências aritméticas e geométricas, podemos tentar encontrar uma fórmula explícita para os números dos triângulos.

EM BREVE: Prova animada para a fórmula do número do triângulo

Os números dos triângulos parecem aparecer em toda parte na matemática e você os verá novamente ao longo deste curso. Um fato particularmente interessante é que qualquer número inteiro pode ser escrito como a soma de no máximo três números de triângulo:

${n}

=

+

+

O fato de isso funcionar para todos os números inteiros foi comprovado pela primeira vez em 1796 pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss - aos 19 anos!

Problem Solving

Qual é a soma dos 100 primeiros números inteiros positivos? Em outras palavras, qual é o valor de

1+2+3+4+5++97+98+99+100?

Em vez de somar tudo manualmente, você pode usar os números do triângulo para ajudá-lo? E a soma dos primeiros 1000 números inteiros positivos?

Números Quadrados e Poligonais

Outra sequência baseada em formas geométricas são os números quadrados:

1, 4+3, 9+5, 16+7, +9, +11, +13, +15, …

Você pode calcular que os números são essa sequência ao quadrado de todo número inteiro (12, 22, 32,…), mas acontece que existe outro padrão: as diferenças entre os números quadrados consecutivos são as seguintes: em ordem crescente!

A razão para esse padrão se torna aparente se realmente desenharmos um quadrado. Cada etapa adiciona uma linha e uma coluna. O tamanho desses “cantos” começa em 1 e aumenta em 2 a cada passo - formando assim a sequência de números ímpares.

Isso também significa que o número do quadrado n é apenas a soma dos primeiros números pares n! Por exemplo, a soma dos 6 primeiros números ímpares é

1+3+5+7+9+11= .

1 3 5 7 9 11 13

Além disso, todo número quadrado também é a soma de dois números consecutivos de triângulo. Por exemplo, ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2}. Você pode ver como podemos dividir cada quadrado ao longo de sua diagonal em dois triângulos?

x=

Após números triangulares e quadrados, podemos continuar com polígonos maiores. As seqüências numéricas resultantes são chamadas números poligonais.

Por exemplo, se usarmos polígonos com lados ${k}, obteremos a sequência de ${polygonName(k)} números.

Você pode encontrar fórmulas recursivas e explícitas para o número poligonal n que possui k lados? E você percebe outros padrões interessantes para polígonos maiores?

Números tetraédricos e cúbicos

Obviamente, também não precisamos nos limitar a formas e padrões bidimensionais. Poderíamos empilhar esferas para formar pequenas pirâmides, assim como você empilharia laranjas em um supermercado:

1

20

35

Os matemáticos costumam chamar essas pirâmides de tetraedra e a sequência resultante números tetraédricos.

EM BREVE: Mais sobre números tetraédricos, números cúbicos e os 12 dias do Natal.