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Sequências e padrões
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Introdução
Sequências Aritméticas e Geométricas
Números figurativos
Sequências como funções
Números de Fibonacci
Sequências Especiais
Triângulo de Pascal
limites e convergência

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Glossário

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Sequências e padrõesIntrodução

Tempo de leitura: ~25 min

Muitas profissões que usam matemática estão interessadas em um aspecto específico - encontrar padrões e ser capaz de prever o futuro. Aqui estão alguns exemplos:

Na última década, departamentos de polícia ao redor do mundo começaram a confiar mais em matemática. Algoritmos especiais podem usar os dados de crimes passados para prever quando e onde os crimes poderão ocorrer no futuro. Por exemplo, o sistema PredPol (abreviação de “policiamento preditivo”) ajudou a diminuir a taxa de criminalidade em partes de Los Angeles em 12%!

Acontece que terremotos seguem padrões semelhantes aos crimes. Assim como um crime pode provocar retaliações, um terremoto pode causar tremores secundários. Em matemática, isso é chamado de "processos auto-excitantes", e existem equações que ajudam a prever quando o próximo terremoto pode acontecer.

Os banqueiros também analisam dados históricos dos preços das ações, taxas de juros e taxas de câmbio para estimar como mercados financeiros podem mudar no futuro. Ser capaz de prever se o valor de uma ação vai subir ou descer pode ser extremamente lucrativo!

Os matemáticos profissionais usam algoritmos altamente complexos para encontrar e analisar todos esses padrões, mas vamos começar com algo um pouco mais básico.

Sequências Simples

Na matemática, uma sequência é uma cadeia de números (ou outros objetos) que geralmente seguem um padrão específico. Os elementos individuais em uma sequência são chamados termos.

Aqui estão alguns exemplos de sequências. Você consegue encontrar seus padrões e calcular os próximos dois termos?

3, 6*{span.arrow}+3*, 9*{span.arrow(hidden)}+3*, 12*{span.arrow(hidden)}+3*, 15*{span.arrow(hidden)}+3*, , … Padrão: “Adicione 3 ao número anterior para obter o próximo.”

4, 10*{span.arrow(hidden)}+6*, 16*{span.arrow(hidden)}+6*, 22*{span.arrow(hidden)}+6*, 28*{span.arrow(hidden)}+6*, , , … Padrão: “Adicione 6 ao número anterior para obter o próximo.”

3, 4*{span.arrow(hidden)}+1*, 7*{span.arrow(hidden)}+3*, 8*{span.arrow(hidden)}+1*, 11*{span.arrow(hidden)}+3*, , , … Padrão: “Adicione alternadamente 1 e 3 ao número anterior, para obter o próximo.”

1, 2*{span.arrow(hidden)}×2*, 4*{span.arrow(hidden)}×2*, 8*{span.arrow(hidden)}×2*, 16*{span.arrow(hidden)}×2*, , , … Padrão: “Multiplique o número anterior por 2, para obter o próximo.”

Os pontos (…) no final significam simplesmente que a sequência pode continuar para sempre. Ao nos referirmos a seqüências como esta em matemática, geralmente representamos todos os termos por uma variável especial:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

O pequeno número após o x é chamado de subscrito e indica a posição do termo na sequência. Isso significa que podemos representar o termo n na sequência por .

Números triangulares e quadrados

Sequências em matemática nem sempre precisam ser números. Aqui está uma sequência que consiste em formas geométricas - triângulos de tamanho crescente:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

triangle-4

triangle-5

triangle-6

A cada passo, adicionamos mais uma linha ao triângulo anterior. O comprimento dessas novas linhas também aumenta em uma vez. Você pode ver o padrão?

1, 3*{span.arrow}+2*, 6*{span.arrow}+3*, 10*{span.arrow}+4*, 15*{span.arrow}+5*, 21*{span.arrow}+6* +7, +8, …

Também podemos descrever esse padrão usando uma fórmula especial:

xn = xn−1 + n

Para obter o n-ésimo número triangular, pegamos o número triangular e adicionamos n. Por exemplo, se n = ${n}, a fórmula se tornará x${n} = x ${n-1} + ${n}.

Uma fórmula que expressa xn como uma função de termos anteriores na sequência é chamada de fórmula recursiva. Desde que se conheça o na sequência, você poderá calcular todos os termos seguintes.

Outra sequência que consiste em formas geométricas são os números quadrados. Cada termo é formado por quadrados cada vez maiores:

1

square-1

4

square-2

9

square-3

square-4

square-5

square-6

Para os números triangulares, encontramos uma fórmula recursiva que informa o próximo termo da sequência como uma função de seus termos anteriores. Para números quadrados, podemos fazer ainda melhor: uma fórmula que informa diretamente o n-ésimo termo, sem ter que calcular todos os anteriores:

xn =

Isso é chamado de fórmula explícita. Podemos usá-la, por exemplo, para calcular que o 13º número quadrado é , sem primeiro encontrar os 12 números quadrados anteriores.

Vamos resumir todas as definições que vimos até agora:

Uma sequência é uma lista de números, formas geométricas ou outros objetos que seguem um padrão específico. Os itens individuais na sequência são chamados termos e representados por variáveis como xn.

Uma fórmula recursiva para uma sequência informa o valor do n-ésimo termo em função de . Você também precisa especificar o(s) primeiro(s) termo(s).

Uma fórmula explícita para uma sequência informa o valor do n-ésimo termo como uma função de , sem se referir a outros termos na sequência.

Fotografia de sequência de ação

Nas seções a seguir, você aprenderá sobre muitas sequências matemáticas diferentes, padrões surpreendentes e aplicações inesperadas.

Primeiro, porém, vamos ver algo completamente diferente: fotografia de sequência de ação. Um fotógrafo tira muitas fotos em rápida sucessão e as funde em uma única imagem:

Você pode ver como o esquiador forma uma sequência? O padrão não é adição ou multiplicação, mas uma transformação geométrica. Entre etapas consecutivas, o esquiador é transladado e .

Aqui estão mais alguns exemplos de fotografias de sequência de ação para sua diversão:

Archie